Die Determinante taucht immer wieder in unterschiedlichen Anwendungen der Matrix-Rechnung auf. Oft ist es schwierig die Übersicht zu behalten, daher haben wir hier eine kurze Übersicht. Die Aussagen werden wir auch kurz "beweisen" oder zumindest argumentieren, für strikte Beweise schlagt bitte das Lineare Algebra Buch eurer Wahl auf.

Fläche und Volumen über Determinantenberechnung
In der Ebene kann man die Fläche eines von den Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannten Parallelogramms über die Determinante berechnen, betrachten wir das Beispiel \(\vec{u}=(2,2)\) und \(\vec{v}=(3,1)\)

ebenen 1

Es gilt nun für die Fläche des aufgespannten Parallelogramms

\begin{align*}
|\det \begin{pmatrix}
2 & 3\\
2 & 1
\end{pmatrix}|=4.
\end{align*}

Dadurch kann man natürlich auch die Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks berechnen, es beträgt die Hälfte des Parallelogramms.

ebenen 1

\begin{align*}
\frac{1}{2}|\det \begin{pmatrix}
2 & 3\\
2 & 1
\end{pmatrix}|=2.
\end{align*}

Das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten, sogenannten Parallelpeptids wird direkt über die Determinante berechnet. Folgende Figur,

folgerungen determinante 2

aufgespannt durch die drei Vektoren \(\vec{u}=(2,2,0)\), \(\vec{v}=(3,1,0)\) und \(\vec{w}=(1,2,3)\), beträgt demnach

\begin{align*}
|\det \begin{pmatrix}
2 & 3 & 1\\
2 & 1 & 2\\
0& 0 & 3
\end{pmatrix}|=|-12|=12.
\end{align*}

Determinanten und Rang
Ausführliches zur Rangberechnung gibt es hier (link), kurz zusammengefasst noch einmal, der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen- oder Spaltenvektoren einer Matrix. Bei einer quadratischen \((n\times n)\)-Matrix bedeutet dies, er ist höchstens \(n\). Es gilt, dass die Determinante einer Matrix genau dann 0 ist, wenn ihr Rang kleiner \(n\) ist.

Im Zwei- oder Dreidimensionalen haben wir sogar eine anschauliche Begründung aus dem vorigen Abschnitt, hier berechnet die Determinante die Fläche des aufgespannten Parallelogramms beziehungsweise das Volumen des Parallelpetids. Sind im \(\mathbb R^2\) die zwei Vektoren linear abhängig, so spannen diese eben keine Fläche auf (sondern nur eine Linie).

ebenen 1

Ebenso fehlt bei drei Vektoren umgangssprachlich gesagt, zum Beispiel "die Höhe" (in die dritte Dimension), das Volumen des aufgespannten Parallelpetids ist daher Null.

Determinanten und Eigenwerte
In der linearen Algebra gibt es den Satz, dass die Determinante einer Matrix \(A\) genau das Produkt der Eigenwerte \(\lambda_i\) beträgt. Es gilt also, in Formeln geschrieben
\begin{align*}
\det A=\lambda_1\cdot\lambda_n.
\end{align*}
Eng verwandt mit der vorigen Aussage ist die folgende: Hat eine Matrix Determinante 0 so ist mindestens ein Eigenwert 0 und umgekehrt. Das hat natürlich zur Folge, dass in Kombination mit dem Begriff des Ranges gilt, ist der Rang einer \((n\times n)\)-Matrix kleiner \(n\) so hat sie mindestens einen Eigenwert gleich 0 und umgekehrt.

Wichtig ist, der Begriff des Ranges ist für jede Matrix definiert, Eigenwerte und Determinanten nur für quadratische Matrizen!

 

Determinanten und Invertierbarkeit
Hat eine Matrix Determinante 0, so wissen wir aus dem vorigen Abschnitt, dass sie nicht vollen Rang hat. Dann ist sie auch nicht invertierbar! Ebenso gilt, hat eine Matrix Determinante \(\neq 0\), so ist sie invertierbar. Mit Hilfe der Determinante kann man also die Invertierbarkeit einer Matrix überprüfen. Es soll jedoch angemerkt werden, dass dies keine besonders effektive Vorgehensweise ist, da die Determinante im allgemeinen nur sehr rechenaufwendig zu bestimmen ist.

 

Der Zusammemhang
Wir versuchen umgangssprachlich, anhand Überlegungen, die bei unseren Rehcnungen auftreten, einen Weg durch alle Abschnitte zu finden und beginnen mit dem Rang und der oberen Dreiecksmatrix. Mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren (LINK) können wir den Rang einer Matrix \(A\) bestimmen und die Matrix \(A\) in eine obere (oder untere) Dreiecksmatrix überführen. Hat die Matrix keinen vollen Rang, entsteht (mindestens) eine Nullzeile!
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}

 

Haben wir eine Nullzeile so ist offensichtlich die Determinante 0, denn wir könn(t)en ja nach dieser Zeile entwickeln! Unsere Wasserstandsmeldung ergibt also:

-Matrix hat keinen vollen Rang
-Nullzeile entsteht bei Spalten- oder Zeilenoperation
-Determinante ist daher 0.

Desweiteren gilt, dass der Gaußalgorithmus aufgrund der 0-Zeile nicht weiter bis zur Inversen von \(A\) "laufen kann", er bricht ab (unsere \(n\)-te Zeile müsste die Form \((0 \ \ 0 \ \ \cdots \ \ 0 \ \ 1)\) besitzen). Wir finden also konstruktiv keine Inverse. Der nicht volle Rang führt also zu einer verschwindenden Determinante und auch zur nicht Invertierbarkeit.

Da wir nun aufgrund des Ranges \(\det A=0\) haben, zugleich aber \(\det A=\lambda_1\cdot \lambda_n\) gilt, muss mindestens einer der Eigenwerte aufgrund des Produktsatzes gleich 0 sein und umgekehrt.

Ein Nachtrag aus der linearen Algebra

Hat unsere Determinante \(\det A\) den Wert 0, so wissen wir, dass ein Eigenvektor \(\vec v_i\) auf den 0-Vektor abgebildet wird, denn es gilt ja
\begin{align*}
A\cdot \vec v_i=\vec 0.
\end{align*}
Dann kann die Matrix \(A\) nicht bijektiv sein, denn der Vektor \(\vec v_i\) wird auf \(\vec 0\) abgebildet. Aus der linearen Algebra wissen wir jedoch, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn \(\ker A=\vec{0}\) gilt.