Inhalt:
»Einleitung
»Die Schreibweise
»Das Quadratische Beispiel
»Das Warum
»Andere Lösungsfälle
»Das Rangkriterium im Spezialfall
»Das Rangkriterium im allgemeinen
»Beispiel

Einleitung

Im folgenden betrachten wir lineare Gleichungen und Gleichungssysteme. Umgangssprachlich bedeutet das, es treten Unbekannte nur mit linearen Koeffizienten auf. So ist die Gleichung \(a^2\cdot x=b\) eine lineare Gleichung in \(x\) (aber eine quadratische Gleichung in \(a\). Wir müssen also auf den Kontext achten). Diesen Gedankengang kann man fortsetzen, \(a\cdot x+b\cdot y=c\) ist daher (üblicherweise) eine lineare Gleichung in \(x\) und \(y\). Wir nennen so eine Gleichung kurz im Folgenden ein \((2\times 1)\) System, es ist linear, hat zwei Unbekannte und eine Gleichung.

Lineare Gleichungen finden in vielen Bereichen der Mathematik, aber vor allem auch in den Anwendungen Platz. Historisch gesehen hat Carl Friedrich Gauß einen wichtigen Schritt zu einem systematischen Lösen der (linearen) Gleichungssysteme gemacht, der Gauß-Algorithmus. Später wurde dieser immer weiter optimiert, zum Teil aufgrund von neuen Erscheinungen wie Rundungsfehler, oftmals auch nur wegen der Geschwindigkeit des Computers. Wir betrachten zu Beginn nicht den Gauß-Algorithmus sondern das Anschreiben von Gleichungssystemen mit Hilfe von Matrizen. Dies hilft uns eine Lösungstheorie aufzubauen.

Die Schreibweise(n), ein einleitendes Beispiel

Die einfachste lineare Gleichung, die wir kennen ist die lineare Gleichung mit einer Unbekannten.
\begin{align*}
a\cdot x=b.
\end{align*}
Wir dividieren die Gleichung durch \(a\) und erhalten unsere Lösung
\begin{align*}
& a\cdot x=b /:a\\
& x=\frac{b}{a},
\end{align*}
wir wollen \(:a\) nun umgehen und schreiben stattdessen \(\cdot a^{-1}\).
\begin{align*}
& a\cdot x=b /\cdot a^{-1}\\
& x=a^{-1} b,
\end{align*}
warum werden wir im folgenden Abschnitt sehen.

Das quadratische Beispiel

Wie wir in der linearen Algebra lernen, können wir ein Gleichungssystem als \(A\vec x=\vec{b}\) schreiben, wobei wir es bei \(Ax=b\) belassen, da \(A\) immer eine Matrix, und \(x,b\) immer Vektoren bezeichnen werden. Als einfaches Beispiel betrachten wir
\begin{align*}
&a_{11}x+a_{12}y=b_1\\
&a_{21}x+a_{22}y=b_2\\.
\end{align*}
Dies lässt sich schreiben als
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2
\end{pmatrix}
\end{align*}

Das Warum

Die gerade eben motivierte schreibweise \(Ax=b\) kann nun wie folgt veralgemeinert werden. Hat eine Matrix \(A\) eine multiplikative Inverse \(A^{-1}\), können wir unser Gleichungssystem wie folgt umformen
\begin{align*}
& Ax=b /\cdot A^{-1}\\
& A^{-1}Ax=A^{-1}b \\
& x=A^{-1}b,
\end{align*}
denn es gilt ja \(A\cdot A^{-1}=I\), die identische Matrix (dabei war übrigens wichtig, dass wir \(A^{-1}\) von lins multiplizieren, denn \(bA^{-1}\) ist nicht definiert). Wir haben also gerade, unformell bewiesen, dass ein quadratisches Gleichungssystem, also \(n\) Unbekannte und \(n\) Gleichungen, eine (sogar eindeutige) Lösung besitzt, wenn \(A\) invertierbar ist.

Als Beispiel, das Gleichungssystem \(Ax=b\) mit
\begin{align*}
A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0 & 4 \\
\end{array}
\right), b=\binom{-4}{-4}
\end{align*}
hat daher die Lösung \((x,y)=(-2,-1)\), da, wie man berechnen kann, für \(A^{-1}\) gilt
\begin{align*}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{4} \\
\end{array}
\right)
\end{align*}
und
\begin{align*}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{4} \\
\end{array}
\right)\cdot \binom{-4}{-4}=\binom{-2}{-1}
\end{align*}
gilt. Natürlich könnte man obiges Gleichungssystem auch schnell per Hand lösen, aber dies ist ein wichtiges Werkzeug für beliebig große, quadratische Gleichungssysteme.

Andere Lösungsfälle

Was ist nun, wenn \(A\) nicht invertierbar ist? Betrachten wir zwei Beispiele. Das System \(Ax=b\) mit
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 4\\
\end{pmatrix}, b=\binom{3}{6}
\end{align*}
hat eine nicht invertierbare Matrix \(A\). \(A\) hat zum Beispiel keinen vollen Rang (nur Rang 1) oder, alternativ, Determinante 0. Das Gleichungssystem besitzt, wie wir händisch nachrechnen können, unendlich viele Lösungen der Form
\begin{align*}
L=\{(3-2s;s)|s\in\mathbb{R}\}.
\end{align*}
Geometrisch haben wir hier (Link) gelernt, die zum Gleichungssystem entsprechenden Geraden sind identisch.

Verändern wir unser Gleichungssystem nun leicht (geometrisch gesehen, machen wir die Geraden parallel)
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 4\\
\end{pmatrix}, b=\binom{3}{7}.
\end{align*}
Lösen wir dieses Gleichungssystem mit dem Additionssatz (Link) erhalten wir den Widerspruch
\begin{align*}
II-2I:\quad 0=1.
\end{align*}
Können wir diese zwei Fälle auch für \(n\) Gleichungen mit \(n\) Unbekannten verallgemeinern, ohne geometrische Betrachtung oder Rechnen? Der folgende Abschnitt beantwortet dies mit Ja.

Das Rangkriterium im Spezialfall

Wir nennen zuerst den Satz und haben dann in den Beispielen praktische Anwendungen. Im Folgenden hat unser Gleichungssystem genau \(n\) Unbekannte und \(n\) Gleichungen. Es können die folgenden verschiedenen Fälle auftreten:

Fall 1: Ein Gleichungssystem \(Ax=b\) hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn \(\mathrm{Rang} \ A=n\) gilt. Die Lösung ist dann gegeben durch
\begin{align*}x=A^{-1}b \end{align*}
Fall 2: Ein Gleichungssystem \(Ax=b\) hat keine Lösung, wenn  \(\mathrm{Rang} \ A<\mathrm{Rang} \ (A|b)\) ist, dabei ist \(\mathrm{Rang} \ (A|b)\) die erweiterte Koeffizientenmatrix
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n\\
\end{pmatrix}
\end{align*}

 

Fall 3: \(\mathrm{Rang} \ A<\mathrm{Rang} \ (A|b)\). In diesem Fall hat das Gleichungssystem eine Lösung, wenn auch nicht unbedeingt eine eindeutige. Die Dimension \(\mathrm{dim} \ L\) der Lösung \(L\) beträgt \(n-\mathrm{Rang} \ A\).

Umgangssprachlich müssen also im dritten Fall so viele freie Parameter gewählt werden wie die Lösung \(L\) Dimensionen hat. Natürlich ist der erste Fall ein Spezialfall des letzten, und das Rangkriterium lässt sich, anders als unsere Vorgehensweise mit \(A^{-1}\) auf beliebige Dimensionen übertragen.

Betrachten wir unsere vorigen Fälle,
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 4\\
\end{pmatrix}, b=\binom{3}{6}.
\end{align*}
Die Matrix \(A\) hat Rang 1, es gibt den linear unabhängigen Spaltenvektor \(\binom{1}{2}\). Erweitern wir die Matrix
\begin{align*}
A|b=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
\end{pmatrix},
\end{align*}
auch diese erweiterete Matrix hat Rang 1, da die dritte Spalte ebenfalls linear abhängig ist von \(\binom{1}{2}\). Für die Lösung gilt dann \(\dim L=2-1=1\), weshalb wir eine Lösung mit einem freien Parameter haben, wie oben war das \(L=\{(3-2s;s)|s\in\mathbb{R}\}\).

Andererseits gilt in
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 4\\
\end{pmatrix}, b=\binom{3}{7},
\end{align*}
dass die erweiterte Matrix
\begin{align*}
A|b=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 7\\
\end{pmatrix},
\end{align*}
einen Rangzugewinn hat, denn bringen wir es in Dreiecksform über \(II-2I\) ergibt sich
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},
\end{align*}
das Gleichungssystem hat demnach keine Lösung da Rang(\(A\))=1<2=Rang(\(A|b\)).

Das Rangkriterium allgemein

Im allgemeinen Fall betrachten wir nicht ein quadratisches Gleichungssystem \(Ax=b\), sondern die Situation, wenn \(A\) eine \((n\times m)\) Matrix mit \(n \neq m\) ist. Die Matrixmultiplikation sagt uns dann, dass \(x\) ein \((m\times 1)\)-Vektor sein muss der Form \(x=(x_1;\cdots x_m)\) und analog \(b\) ein Vektor des \(\mathbb{R}^n\), \(b=(b_1;\cdots b_n)\). Wir haben also offensichtlich \(m\) Unbekannte und \(n\) Gleichungen.

Eine \((n\times m)\)-Matrix hat keine multiplikative Inverse, weshalb wir das Rangkriterium ohne den Spezialfall 1. neu formulieren. In einem Gleichungssystem \(Ax=b\) mit \(n\) Gleichungen und \(m\) Unbekannten können die folgenden zwei verschiedenen Fälle auftreten,

Fall 1: Ein Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn \(\mathrm{Rang} \ A<\mathrm{Rang} \ (A|b)\) ist, dabei ist \((A|b)\) die erweiterte Koeffizientenmatrix\begin{align*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n\\
\end{pmatrix}
\end{align*}


Fall 2: Gilt \(\mathrm{Rang} \ A=\mathrm{Rang} \ (A|b)\), so hat das Gleichungssystem eine Lösung. Die Dimension \(\dim L\) der Lösung \(L\) beträgt \(\dim L=n-\mathrm{Rang} \ A\)

Natürlich ist der Fall \(n=m\) ein Spezialfall.

Beispiele

\((2\times 3)\)-System: Berechne die Lösung des Gleichungssystems
\begin{align*}
& x+y+z=3
& 2x-y-z=1.
\end{align*}

 

Lösung

Aus der Vektorrechnung wissen wir, dass hier geometrisch der Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen vorliegt. Diese haben eine eine Schnittgerade als Lösung. Weisen wir das mit dem Rangkriterum nach. Die Matrix \(A\) mit
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}
hat Rang 2. Daher gilt Rang(\(A\))=2=Rang(\(A|b\)), denn die \((2\times 4)\)-Matrix \(A|b\) kann keinen Rang größer 2 haben. Die Lösung hat demnach Dimension \(\dim L=3-2=1\), dies ist die Dimension der Schnittgerade. Beginnen wir mit dem Gaußalgorithmus und rechnen \(II+I\) erhalten wir \(x=\frac{4}{3}\). Danach wählen wir \(y\) als freien Parameter und Lösen für \(z\) in \(I\) auf,
\begin{align*}
z=\frac{5}{3}-s.
\end{align*}
Unsere Lösung ist gegeben durch
\begin{align*}
L: \{ (\frac{4}{3};s;\frac{5}{3}-s)|s\mathbb{R} \}
\end{align*}
Habt ihr Probleme mit dem Lösen des Gleichungssystems? Schaut hier nach (LINK)

 

\((3\times 4)\)-System: Gib die Dimension der Lösung mit Hilfe des Rangkriteriums an
\begin{align*}
& w+x+y-z=1\\
& 2w-x+y+z=3\\
& 3w+2y=5
\end{align*}

Lösung

Betrachten wir die Matrix \(A\) und führen den Gaußalgorithmus zur Rangbestimmung bei \(A|b\) durch
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -1 & | & 1 \\
2 & -1 & 1 & 1 & | & 3 \\
3 & 0 & 2 & 0 & | & 5 \\
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Dabei rechnen wir streng nach Gauß im ersten Schritt \(III-3I\) und \(II-2I\)
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & -3 & -1 & 3 & | & 1 \\
0 & -3 & -1 & 3 & | & 2 \\
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Nun erkennen wir bereits an den Zeilenvektoren, dass zweiter und dritter Zeilenvektor in \(A\) linear abhängig sind, denn \((0;-3;-1;3)=(0;-3;-1;3)\) und in der erweiterten Matrix nicht, denn \((0;-3;-1;3;1)\) und \((0;-3;-1;3;2)\) sind nicht linear abhängig. Tatsächlich kann man mit dem Gaußalgorithmus zeigen, dass alle drei Zeilenvektoren linear unabhängig sind. Daher gilt Rang(\(A\))=2<3=Rang(\(A|b\)), das System hat keine Lösung!

Homogenes Gleichungssystem: Ein Gleichungssystem wird homogen genannt, wenn \(b=\vec{0}\) gilt. Erkläre, warum dieses Gleichungssystem immer eine Lösung haben muss.

Lösung

Die erweiterte Koeffizientenmatrix \(A|b\) kann keinen größeren Rang haben als \(A\). Alternativ kann man nachrechnen, dass der Nullvektor \(\vec 0\) immer eine Lösung ist.

\(n=m\): Erkläre, wie der allgemeine Fall, wenn \(n\neq m\) gilt, und der Fall \(n=m\) zusammenhängt, wenn \(A\) invertierbar ist. Woher resultiert die Eindeutigkeit der Lösung \(x=A^{-1}b\) im Rangkriterium?

Lösung

Lösung: Wenn \(A\) invertierbar ist, hat die Matrix \(A\) vollen Rang, es gilt also, Rang(\(A\))=\(n\). Die erweiterte Koeffizientenmatrix \(A|b\) ist eine \((n\times n+1)\)-Matrix. Diese kann maximal Rang \(n\) haben. Unser Dimensionssatz besagt also, dass das Gleichungssystem eine Lösung besitzt. Die Dimension der Lösung beträgt \(\dim L=n-\)Rang(\(A\))=0. Das Gleichungssystem hat also einen Punkt als Lösung, dieser ist die eindeutige Lösung.