Inhalt
» Geometrische Bedeutung
» Algebraische Bedeutung
» Anmerkungen

Funktionen können ähnlich wie Figuren in der Geometrie gewisse Symmetrien besitzen. Bei der Analyse von Funktionen konzentriert man sich üblicherweise auf zwei Spezialfälle der Symmetrie:

Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung \((0;0)\). Wir kürzen die zwei Begriffe im folgenden mit Achsensymmetrie und Punktsymmetrie ab. Im folgenden sehen wir eine zur \(y\)-Achse achsensymmetrische Funktion \(f\) und eine zum Ursprung punktymmetrische Funktion \(g\).

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Auch wenn z.B. jede quadratische Funktion mit Scheitel \(S=(x_S; y_S)\) symmetrisch ist zur Scheitelachse \(x=x_S\) so untersuchen wir hier nur die eben genannten speziellen Symmetriefälle.

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Eine achsensymmetrische Funktion nennen wir auch gerade, eine punktsymmetrische Funktion ungerade und wir werden im Folgenden sehen, wie es zu diesen Begriffen kommt.

Geometrische Bedeutung

Eine achsensymmetrische Funktion hat die \(y\)-Achse als Symmetrieachse. Faltet man Koordinatensystem und Graphen an dieser Achse, liegen die zwei Äste der Funktion übereinander.

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Eine punktsymmetrische Funktion hat den Ursprung als Symmetriepunkt. Führt man eine Punktspiegelung des einen Astes der Funktion am Ursprung durch, so erhält man den zweiten Ast (und umgekehrt). Das bedeutet insbesondere, dass der Graph jeder punktsymmetrischen Funktion durch den Ursprung geht.

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Algebraische Bedeutung

Den Nachweis der Symmetrien kann man rechnerisch wie folgt durchführen:

Eine achsensymmetrische Funktion \(f\) erfüllt \(f(-x)=f(x)\).
Eine punktsymmetrische Funktion \(g\) erfüllt \(g(-x)=-g(x)\).

Das folgende Bild veranschaulicht die Rechenregeln.

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Zum Beispiel erfüllen Polynome mit (nur) geraden Exponenten eine Symmetrieeigenschaft, nämlich die Achsensymmetrie. So gilt z.B. für \(f_1(x)=x^2+1\):
\begin{align*}
f_1(-x)=(-x)^2+1 =x^2+1=f_1(x).
\end{align*}
Aber auch der Cosinus ist eine achsensymmetrische Funktion, denn wie wir in den Kapiteln Einheitskreis [Link] und trigonometrische Funktionen [Link] lernen, gilt \(\cos (-x)=\cos(x)\).

Analog zu den geraden Funktionen erfüllen Polynome mit (nur) ungeraden Exponenten die andere Symmetrieeigenschaft, das heißt die Punktsymmetrie. Wir betrachten beispielsweise \(g_1(x)=x-2x^3\) und erhalten
\begin{align*}
g_1(-x)=(-x)-2(-x)^3=-x+2x^3=-(x-2x^3)=-g_1(x).
\end{align*}
Aber auch der Sinus ist eine punktsymmetrische Funktion, denn wie wir in den Kapiteln Einheitskreis [Link] und trigonometrische Funktionen [Link] lernen, gilt \(\sin (-x)=-\sin(x)\).

Polynome mit geraden und ungeraden Exponenten haben keine der Symmetrieeigenschaften, wie wir exemplarisch an \(h_1 = 2x^3-6x^2-18x-10\) sehen werden.
\begin{align*}
h_1(-x) &= 2(-x)^3-6(-x)^2-18(-x)-10\\
&=-2x^3-6x^2+18x-10\\
&\neq h_1(x) \text{ aber auch} \neq -h_1(x)
\end{align*}

Anmerkungen

Rechnerisch führen viele für die Punktsymmetrie gerne die äquivalente Rechnung \(-g(-x)=g(x)\) durch. Für die oben definierte Funktion \(g_1(x)=x-2x^3\) hieße das
\begin{align*}
-g_1(-x)=-((-x)-2(-x)^3)=x-2x^3=g_1(x),
\end{align*}
da man mit \(g_1\) endet und nicht mehr auf das Minuszeichen achten muss.


Umgangssprachlich wird die Punktsymmetrie analog zur Faltung des Koordinatensystems bei der Achsensymmetrie wie folgt erklärt: "Man bricht die Funktion im Ursprung in zwei Teile und dreht einen Funktionsast dann herunter".

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Informationen zur allgemeinen Symmetrie zu einem Punkt oder einer Achse findet sich zum Beispiel ausführlich auf Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Punktsymmetrie und https://de.wikipedia.org/wiki/Achsensymmetrie.