Inhalt
» Vorbemerkung
» Geometrische Beispiele
» Asymptoten an Polstellen
» Asymptotisches Verhalten
» Asymptoten im Unendlichen
» Anmerkungen

Beispiel Asymptoten  Beispiel2 Asymptoten

Vorbemerkung

Die genaue Definition einer Asymptote ist mathematisch sehr abstrakt und wird von Lehrenden zu Lehrenden unterschiedlich genau behandelt. Wir konzentrieren uns speziell auf Geraden als Asymptoten und betrachten im Abschluss kurz weitere Möglichkeiten.

Eine Asymptote ist für uns eine Gerade, an die sich eine Funktion anschmiegt. Dies passiert üblicherweise "im Unendlichen" oder an Polstellen. Sollte sich eine Funktion im Unendlichen nicht an eine Gerade anschmiegen, interessiert uns trotzdem ihr Verhalten. Dies nennt sich das Untersuchen des asymptotischen Verhaltens.

Geometrische Beispiele

Oben haben wir im Bild schon Beispiele für Asymptoten gesehen. Im folgenden haben wir einige weitere graphische Beispiele.

Beispiel 3 Asymptoten

Wir sehen die Exponentialfunktion \(f\) mit \(f(x)=e^{\frac{1}{5}x}\). Diese schmiegt sich für \(x\to -\infty\) gegen die \(x\)-Achse. Die (in der Schule selten besprochene) Funktion \(g\) mit \(g(x)=5\arctan (\frac{1}{3}x)\) nähert sich nicht nur für \(x\to -\infty\) gegen eine Gerade sondern auch für \(x\to\infty\). Man kann zeigen, dass diese zwei Geraden die Gleichungen \(y=\pm \frac{5}{2}\pi\) haben. Wir sehen auch eine verschobene Hyperbel \(h\) mit der Funktionsgleichung \(h(x)=\frac{1}{x+3}+2\). Diese hat, wie die anderen zwei Funktionen zuvor, eine horizontale Asymptote \(y=2\) aber auch eine vertikale Asymptote \(x=3\). Wir starten mit letzteren.

Asymptoten an Polstellen

Vertikale Asymptoten entstehen üblicherweise durch Definitionslücken, welche aus Brüchen resultieren. Mehr zu Definitionsbereich und Definitionslücken hier. Hat eine Funktion eine Definitionslücke an der Stelle \(x_0\) aufgrund der Division durch \(0\), so entsteht hier eine vertikale Asymptote, oft auch Polstelle genannt. Dies geschieht ganz allgemein für \(\frac{1}{x-x_0}\) mit Asymptote \(x=x_0\).

Beispiel 4 Asymptoten

Wir betrachten dazu nun kurz die konkreten Beispiele \(h_1\), \(h_2\), \(h_3\) gegeben durch
\begin{align*}
h_1(x)=\frac{1}{x-1},\quad h_2(x)=\frac{x}{x+1},\quad h_3(x)=\frac{x-1}{x^2-1}.
\end{align*}
Diese drei Hyperbeln haben die Definitionsbereiche \(D_1=\mathbb{R}\setminus \{ 1\}\), \(D_2=\mathbb{R}\setminus \{ -1\}\) und \(D_3=\mathbb{R}\setminus \{ -1; 1\}\) und im folgenden blicken wir auf ihre Graphen.

Beispiel 5 Asymptoten

Die Graphen von \(h_1\) und \(h_2\) verlaufen so, wie wir es erwarten. Dabei fällt uns auf, dass \(h_3\) zwar zwei Definitionslücken hat, aber unsere Grafik für \(h_3\) nur eine vertikale Asymptote aufweist, nämlich \(x=-1\). Dies liegt daran, dass die Definitionslücke bei \(x=1\) hebbar ist. Wir können den "problematischen" Term kürzen.
\begin{align*}
h_3(x)=\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x-1)\cdot (x+1)}\approx \frac{1}{x+1}:=\tilde{h}_3(x).
\end{align*}
Daher hat die Definitionslücke \(-1\) die übliche Auswirkung. Eine Polstelle mit vertikaler Asymptote und \(1\) ist "nur" eine Definitionslücke die man üblicherweise wie folgt kennzeichnet.

Asymptoten 6

Es gibt also zwei Arten von "Problemstellen" (Streng genommen gibt es drei, wovon eine euch erst in der Universität begegnen wird. Mehr dazu unter Anmerkungen.).

Hat eine Funktion \(h\) aufgrund der Division durch \(0\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke, so verläuft der Graph wie die vereinfachte (gekürzte) Funktion \(\tilde{h}(x)\) mit Ausnahme der Definitionslücke \(x_0\).
Hat eine Funktion \(h\) aufgrund der Division durch \(0\) an der Stelle \(x_0\) eine nicht hebbare Definitionslücke, so hat die Funktion eine vertikale Asymptote \(x=x_0\).

Ein weiteres und das vielleicht einfachste Beispiel ist \(h_4(x)=\frac{x^2}{x}\approx x:=\tilde{h}_4(x)\)

Asymptoten 7

Asymptotisches Verhalten

Wir bemerkten, dass die Funktion \(f\) mit \(f(x)=e^{\frac{1}{5}x}\) sich für \(x\to -\infty\) an die \(x\)-Achse anschmiegt und für \(x\to\infty\) rasant wächst. Man nennt diese Untersuchung umgangssprachlich auch das Langzeitverhalten einer Funktion. Stellen wir uns vor, die abhängige Variable \(x\) wäre die Zeit. Man untersucht woher die Funktion kommt und wohin sie geht. Hierbei "interagieren" in komplizierteren Funktionen unterschiedliche Terme und wir wiederholen kurz das Grundwissen der Funktionen in einer kleinen Tabelle.

 

\(f(x)=\) \(x\to -\infty\) \(x\to\infty\)
\(c\) mit \(c\in\mathbb{R}\) \(c\) \(c\)
\(x\) \(-\infty\) \(\infty\)
\(x^2\) \(\infty\) \(\infty\)
\(x^n\), \(n\in\mathbb{N}\) ungerade \(-\infty\) \(\infty\)
\(x^n\), \(n\in\mathbb{N}\) gerade \(\infty\) \(\infty\)
\(e^x\) \(0\) \(\infty\)
\(\frac{1}{x}\) \(0\) \(0\)
\(\frac{1}{x^n}\), \(n\in\mathbb{N}\) \(0\) \(0\)

 

Nachweise und Begründungen findet ihr in den jeweiligen Kapiteln zu den Funktionen. Das Langzeitverhalten von \(e^{\frac{1}{5}x}\) folgt dann direkt aus \(e^x\) und wir erhalten für \(x\to -\infty\) die \(y\)-Achse als waagrechte Asymptote
\begin{align*}
\lim_{x\to -\infty}e^{\frac{1}{5}x}=\lim_{x\to -\infty}(e^x)^\frac{1}{5}=0^\frac{1}{5}=0
\end{align*}
sowie analog
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty}e^{\frac{1}{5}x}=\infty,
\end{align*}
wobei man lernt, dass das Wachstum für \(x\to\infty\) stärker als jede Gerade (sogar stärker als jede Polynomfunkion) ist. Wir haben daher keine Asymptote für \(x\to\infty\) und die Asymptote \(y=0\) für \(x\to -\infty\).

Betrachten wir nun das Langzeitverhalten von \(h(x)=\frac{1}{x+3}+2\).

Aus \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0\) schließen wir:
\begin{align*}
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x+3}+2=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x+3}+\lim_{x\to\pm\infty}2=0+2=2.
\end{align*}
Zu der vertikalen Asymptote an der nicht hebbaren Polstelle \(x=-3\) schließt sich noch die vertikale Asymptote \(y=0\) an.

Asymptoten im Unendlichen

Wir haben also gesehen, dass im sogenannten Langzeitverhalten horizontale Asymptoten der Form \(y=c\) auftreten können. Dies sind aber noch nicht alle. Betrachten wir die Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=\frac{x^3-x^2+1}{x^2}\). Die Funktion hat eine nicht hebbare Polstelle bei \(x=0\) und daher eine vertikale Asymptote. Ein Blick auf den Graph lässt zudem erahnen, dass die Funktion eine schräge Asymptote hat.

Asymptoten 9

Ein wenig Algebra zeigt uns, dass unsere Vermutung richtig ist
\begin{equation}
f(x)=\frac{x^3-x^2+1}{x^2}=\frac{x^3-x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}=x-1+\frac{1}{x^2}.
\end{equation}
Da \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2}\) verhält sich die Funktion \(f\) im Langzeitverhalten wie die Gerade \(x-1\). Mathematisch unexakt ausgedrückt könnte man auch schreiben
\begin{align*}
f(x)=\frac{x^3-x^2+1}{x^2}=x-1+\frac{1}{x^2}\approx x-1
\end{align*}


für \(x\) (betragsmäßig) genügend groß.

Asymptoten 10

Anmerkungen

Analog zu den schiefen Asymptoten können auch andere Funktionen Asymptoten sein. So hat die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{x^3-6 x^2+12 x-4}{4x-8}\) anscheinend die Funktion \(g\) mit \(g(x)=\frac{1}{4}(x-2)^2\) als Asymptote.

Asymptoten 11

Die (hier nur sehr kurze) rechnerische Begründung ist die folgende
\begin{align*}
& f(x)=\frac{x^3-6 x^2+12 x-4}{4x-8}=\frac{\frac{1}{4}(x-2)^3+1}{x-2}=\\
& \frac{1}{4}(x-2)^2+\frac{1}{x-2}\approx \frac{1}{4}(x-2)^2=g(x)
\end{align*}


für \(x\) (betragsmäßig) genügend groß und man benötigt dabei die [Polynomdivision].


Die Funktion aus dem Eingangsbild hat den Funktionsterm
\begin{align*}
f(x)=\frac{1}{2}(\frac{2}{\pi}\arctan (\frac{1}{10}x)+1)\cdot x+\frac{1}{3}\frac{x-3}{x^2-16}
\end{align*}
und wir wünschen viel Spaß bei der Analyse ihrer Asymptoten. :-)


Wir sehen einen Unterschied bei den Polstellen von \(\frac{1}{x}\) und \(\frac{1}{x^2}\). Eine kurze Merkregel analog zu unserem Satz über Nullstellen lautet:

Hat eine Polstelle ungerade Ordnung, so hat die Funktion dort einen Vorzeichenwechsel.
Hat eine Polstelle gerade Ordnung, so hat die Funktion dort keinen Vorzeichenwechsel.

Als Beispiele merkt man sich die eben genannten Funktionen mit Ordnung 1 und 2 der Polstellen.

Mehr Infos zu den verschiedenen Arten von Polstellen (und auch dem dritten Fall) findet ihr unter https://de.wikipedia.org/wiki/Polstelle oder in jedem Buch über komplexe Analysis.