Inhalt
» Monotonie
» Extremwerte
» Beispiele
» Anmerkungen

Unsere Vorüberlegung ist, dass wir mit Hilfe der (ersten) Ableitung die Tangentensteigung in einem Punkt einer Funktion \(f\) berechnen können. Sei \(f\) also im folgenden eine differenzierbare Funktion so erhalten wir mit Hilfe der Ableitung \(f'\) den Wert \(k\) der Steigung der jeweils dazugehörigen Tangente \(t(x)=k\cdot x+d\).

Visualisieren wir dies an der Funktion \(f(x)=\frac{1}{4}(x-2)^2+2\), der ersten Ableitung \(f'(x)=0,5x-1\) und den Punkten \(A=(-2;6)\), \(B=(2;2)\) und \(C=(4;3)\), dann erhalten wir die drei Tangenten \(t_{A,B,C}\) deren Steigung durch \(f'(x_{A,B,C})\) gegeben ist.

ableitung1

Die \(y\)-Koordinate des Punktes \(A\) an der Stelle \(x=-2\) ist durch \(f(-2)=6\) gegeben. Die Steigung der dazugehörigen Tangente erhalten wir durch \(f'(-2)=-2\).

Diese Steigung entspricht aber auch der momentanen Änderungsrate einer Funktion! Das bedeutet, die Ableitung \(f'\) lässt uns über die Tangentensteigung auf die Monotonie einer Funktion schließen!

Monotonie

Es gilt also der folgende Satz. Sei \(f\) eine differenzierbare Funktion auf \(D_f\) so gilt:

Ist \(f'(x)>0\), so hat die Funktion an der Stelle \(x\) eine Tangente mit positiver Steigung. Daraus schließen wir, dass die Funktion monoton wachsend ist.
Ist \(f'(x)<0\), so hat die Funktion an der Stelle \(x\) eine Tangente mit negativer Steigung. Daraus schließen wir, dass die Funktion monoton fallend ist.
Ist \(f'(x)=0\), so hat die Funktion an der Stelle \(x\) eine waagrechte Tangente.

Betrachten wir den vertikalen Wurf \(h(t)=30t-5t^2\) mit \(D_h=[0;6]\). Die Ableitung ist durch \(h'(t)=30-10t\) gegeben.

ableitung2

Die Ableitung \(h'\) ist eine lineare Funktion mit Nullstelle \(t=3\). Sie ist davor positiv. Daher haben die Tangenten an \(h\) positive Steigung und \(h\) wächst auch. Danach ist die Ableitung negativ, die Funktion \(h\) fällt. Am Hochpunkt des geworfenen Körpers hat die Funktion eine waagrechte Tangente.

Extremwerte

Nun gibt es nur drei Situationen in denen \(f\) eine waagrechte Tangente besitzen kannableitung3In zwei der Fälle hat \(f\) auch ein lokales Extremum. Geometrisch können wir uns leicht überlegen, dass ein Extremum eine waagrechte Tangente haben muss, die Tangentensteigung also 0 beträgt. Es folgt also, dass \(f'(x_0)=0\) eine notwendige Bedingung dafür ist, dass ein Extremwert vorliegt. Mit Hilfe der zweiten Ableitung erhalten wir sogar eine hinreichende Bedingung:

Gilt \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)>0\) so hat die Funktion im Punkt \((x_0; f(x_0))\) einen Tiefpunkt (Minimum).
Gilt \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)<0\) so hat die Funktion im Punkt \((x_0; f(x_0))\) einen Hochpunkt (Maximum).
Gilt \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)=0\) so können wir erstmal keine Auskunft treffen, mehr dazu in den Anmerkungen.

Warum dies so ist, lernt ihr im folgenden Abschnitt über die Krümmung.

Beispiele

Einfache Polynomfunktion: Geben Sie die Extremstellen der Polynomfunktion \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x+1\) an.

Lösung

Zu Beginn berechnen wir die erste Ableitung
\begin{align*}
& f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x+1\\
& \Rightarrow f'(x)=x^2-3x+2.
\end{align*}
Hat die Ableitung \(f'\) eine Nullstelle so hat die Funktion dort eine waagrechte Tangente und wir einen Extremwertverdacht, welchen wir sodann hoffentlich mit der zweiten Ableitung bestätigen können. Wir lösen also
\begin{align*}
& f'(x)=0\\
& x^2-3x+2=0\\
& x_1=2,\quad x_2=1
\end{align*}
mit Hilfe der großen Lösungsformel. Nun bilden wir die zweite Ableitung
\begin{align*}
& f'(x)=x^2-3x+2\\
& \Rightarrow f''(x)=2x-3\\
\end{align*}
und werten diese an \(x_{1,2}\) aus:
\begin{align*}
& f''(x_1)=f''(2)=1>0, \Rightarrow \text{ Tiefpunkt bei } (2;f(2))\\
& f''(x_2)=f''(1)=-1>0, \Rightarrow \text{ Hochpunkt bei } (1;f(1))\\
\end{align*}
Die dazugehörigen Punktkoordinaten berechnen wir mit \(f\) und wir erhalten den Tiefpunkt \(T=(2;\frac{5}{3})\) und den Hochpunkt \(H=(1;\frac{11}{6})\).

Polynomfunktion: Wir suchen die lokalen Extremwerte der Funktion \(f(x)=3 x^5-20 x^3+1\).

Lösung

Dazu müssen wir die Lösung der Gleichung \(f'(x)=0\) suchen. Dies sind Punkte an denen \(f\) eine waagrechte Tangente besitzt
\begin{align*}
& f'(x)=0\\
& 15x^4-60x^2=0\\
& x^4-4x^2=0\\
& x^2(x^2-4)=0\\
& x^2(x-2)(x+2)
\end{align*}


und wir erhalten mit dem Produktsatz \(x_1=0\), \(x_2=-2\) und \(x_3=2\). Hier hat die Funktion eine waagrechte Tangente. Betrachten wir nun die zweite Ableitung \(f''(x)=60x^3-120x\) so erhalten wir
\begin{align*}
& f''(x_1)=f''(0)=0, \Rightarrow \text{ keine Aussage möglich}\\
& f''(x_2)=f''(-2)=64>0, \Rightarrow \text{ Tiefpunkt bei } (2;f(2))\\
& f''(x_3)=f''(-2)=-64<0, \Rightarrow \text{ Hochpunkt bei } (-2;f(-2))\\
\end{align*}
Die dazugehörigen Punktkoordinaten berechnen wir mit \(f\) und wir erhalten den Tiefpunkt \(T=(2;-63)\) und den Hochpunkt \(H=(-2;65)\).
Tatsächlich liegt bei \(x_1=0\) ein Terrassenpunkt vor wie wir geometrisch schließen können (wenn wir zusätzlich noch Wissen über Polynomfunktionen einfließen lassen und die Tangente in \(W=(0;1)\) einzeichnen)

ableitung4

  ableitung5

Der Scheitel einer Parabel: Wir betrachten eine allgemeine quadratische Funktion mit \(f(x)=ax^2+bx+c\). Wo besitzt der Graph der dazugehörigen Parabel ihren Scheitel?

Lösung

Wir berechnen die erste Ableitung \(f'(x)=2ax+b\) und setzen diese 0
\begin{align*}
& 2ax+b=0 \\
& 2ax=-b\\
& x=\frac{-b}{2a}.
\end{align*}


Wir erhalten also die uns bereits bekannt Scheitelformel \(x_S=\frac{-b}{2a}\) der Parabel. Zudem gilt \(f''(x)=2a\neq 0\), der Scheitel ist also in Abhängigkeit von \(a\) ein Hoch- oder Tiefpunkt.

Anmerkungen

Die Kombination \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)\neq 0\) ist eine hinreichende Bedingung. Sie führt also zu einem Extremum, dabei ist \(f'(x_0)=0\) auch notwendig. Was ist jedoch wenn \(f''(x_0)=0\)? Wie wir an den Funktionen \(x^3\) und \(x^4\) sehen können, gibt es Funktionen mit \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\) die einen Extremwert haben können (\(x^4\)) oder auch nicht (\(x^3\)). Es gilt also, dass wir in der Situation \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\) erst einmal keine Aussage treffen können.