Inhalt
» Beispiele
» Merkregeln
» Umgekehrte Beispiele
» Anmerkungen

In den Anwendungen ist es oftmals wichtig zu einer Funktion die passende Ableitung skizzieren zu können und umgekehrt zu einer Ableitung die passende Funktion. Wir besprechen das Kapitel anhand einiger Beispiele.

Beispiele

Die Parabel: Wir beginnen mit einer quadratischen Funktion \(f\).

geometrischesdifferenzieren1

Zeichnen Sie die Ableitung ein.

Lösung

Wir wissen nun drei offensichtliche Fakten über unsere Ableitung (Expert/innen wissen sogar noch viel mehr).

Die Ableitung \(f'\) hat bei \((1;0)\) eine Nullstelle da \(f\) ein Minimum für \(x=1\) hat und dadurch Tangentensteigung 0.
Die Ableitung \(f'\) ist für \(x<1\) negativ, da \(f\) dort streng monoton fallend ist und daher negative Tangentensteigung vorliegt.
Die Ableitung \(f'\) ist für \(x>1\) positiv, da \(f\) dort streng monoton steigend ist und daher positive Tangentensteigung vorliegt.

Daraus können wir den folgenden Graph schließen:

geometrischesdifferenzieren1_1

Differenzialrechnung/geometrischesdifferenzieren1_2

Die letzten zwei Punkte, das Vorzeichen der Ableitung, haben wir dabei mit einem kurzen Strich visualisiert.

Woher wissen wir nun, dass die Ableitung eine lineare Funktion ist und deren Graph daher eine Gerade? Streng genommen sagt uns das nur die Aussage, dass \(f\) ein Polynom zweiten Grades ist, wie das folgende Beispiel mit \(f\) ein Polynom von Grad 4 zeigt.

geometrischesdifferenzieren2

Das Polynom dritten Grades: Gegeben ist der Graph eines Polynoms dritten Grades.

geometrischesdifferenzieren3

Zeichnen Sie die Ableitung ein.

Lösung

Wir sammeln wieder Informationen:

Die zwei Extremstellen bei \(x\approx 1,4\) und \(x\approx 2,6\) werden zu Nullstellen von \(f'\) da waagrechte Tangenten vorliegen (\(k=0\)).
Die Ableitung ist zuerst positiv, dann negativ, dann positiv denn die Funktion steigt bis \(x\approx 1,4\) , fällt bis \(x\approx 2,6\) und steigt ab dann.
Die Funktion hat einen Wendepunkt bei \(x\approx 2,0\). Dies bedeutet, die Funktion hat hier einen Extremwert. Aus unseren vorigen zwei Überlegungen schließen wir, dass es ein Tiefpunkt sein muss.

Mit der zusätzlichen Information, dass die Ableitung ein Polynom zweiten Grades und ihr Graph demnach eine Parabel ist, ergibt sich folgendes Bild:

geometrischesdifferenzieren3_1

geometrischesdifferenzieren3_2

geometrischesdifferenzieren3_3

Wie tief der Tiefpunkt \(T\) liegt wissen wir nicht!

Merkregeln

Wir fassen also zusammen

Steigt die Funktion \(f\), so ist \(f'\) positiv. Fällt die Funktion \(f\), so ist \(f'\) negativ.
Funktionswerte mit waagrechter Tangente (Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte) werden zu Nullstellen.
Wendestellen werden zu Hoch- und Tiefpunkten.
Umgekehrte Beispiele

Noch viel wichtiger in den Anwendungen ist aus einer Ableitung auf die dazugehörige Funktion zu schließen. Wir betrachten die Ableitung \(f'\).

geometrischesdifferenzieren4

Wir wenden unsere Regeln nun umgekehrt an.

Die Funktion fällt für \(x<0\) da \(f'\) negativ ist. Dann steigt sie bis \(x=4\) und fällt wieder für \(x>4\).
Die zwei Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=4\) führen zu zwei Extremwerten. Davon muss aufgrund der vorigen Überlegung bei \(x=0\) ein Tiefpunkt sein und bei \(x=4\) ein Hochpunkt.
Dazwischen liegt der Wendepunkt bei \(x=2\), da \(f'\) hier ein Maximum hat (steilste Stelle).

geometrischesdifferenzieren4_1

geometrischesdifferenzieren4_2

Wie hoch \(T\), \(W\) und \(H\) genau sind, kann nicht festgelegt werden.

Anmerkungen

Natürlich kann man den vorigen Abschnitt auch dahingehend umformulieren, dass die Funktion \(f\) gegeben ist und eine dazugehörige Stammfunktion \(F\) gesucht wird.