Inhalt
» Vorbemerkung
» Das erste Problem
» Ober- und Untersummen als Näherungen
» Ober- und Untersummen im Grenzwert
» Das bestimmte Integral
» Die Stammfunktion und ihre Anwendung
» Das unbestimmte Integral
» Anmerkungen

Vorbemerkung

Wir versuchen hier an einem konstruktiven Beispiel die verschiedenen Begriffe der Integralrechnung unter einen Hut zu bekommen und ihre Bedeutung (und ihren Sinn) zu erläutern. Im Anschluss behandeln wir die wichtigsten Integrationsformeln.

Das erste Problem

Ein Grundstückbesitzer möchte die Fläche seines Grundstückes an einer Küste berechnen, denn er weiß die exakte Fläche jenes nicht mehr. Aufgrund des Küstenverlaufs ist dieses Vorhaben nicht trivial. Mit Hilfe eines GPS-Empfängers misst er einige Punkte entlang der Küste ab

lineare funktion3

und kann dadurch die Küstenfunktion \(f\) definieren und sein Grundstück mathematisch (in Metern) beschreiben (wie man auf die Küstenfunktion \(f\) kommt, ist ein anderes, sehr interessantes Thema der Mathematik):
\begin{align*}
f(x) =& -4,0\cdot 10^{-9}x^7+7,8\cdot 10^{-7}x^6-5,5\cdot 10^{-5}x^5+1,6\cdot 10^{-3}x^4-\\
& -1,3\cdot 10^{-2}x^3-1,5\cdot 10^{-1}x^2+2,2\cdot 10^{-1}x^2+60.
\end{align*}
Die (gerundete, vgl. Anmerkungen) Funktion wirkt auf den ersten Blick nicht sehr handlich aber wir werden sehen, dass uns die Funktionsgleichung beim Besprechen der Begriffe nicht sehr wichtig sein wird. Zudem werden wir der Einfachheit halber auch primär mit gerundeten Werten arbeiten, die exakten Leser/innen verzeihen uns bitte an dieser Stelle. Unsere Küste wird also zu einer Küstenfunktion in einem Koordinatensystem

lineare funktion3

Der Besitzer möchte nun die Fläche zwischen der Funktion \(f\) und der \(x\)-Achse berechnen im Intervall \([0;35]\).

inselgrafiken_3

Ober- und Untersummen als Näherungen

Da ihm die Integralrechnung noch unbekannt ist, schätzt er ab. Er weiß die längste und kürzeste Stelle seines Grundstückes:

inselgrafiken_4

Dadurch kann er die Fläche nach oben und nach unten durch zwei Rechtecke abschätzen.

inselgrafiken_51    inselgrafiken_52

Die Breite der Rechteck sind in diesem Fall \(\Delta x=35-0=35\). Die Höhen sind gegeben durch den höchsten beziehungsweise niedrigsten Wert des Intervalls \([0;35]\), (gerundet) 60 und 25. Für die tatsächliche Fläche \(F_A\) des Grundstücks \(A\) gilt also
\begin{align*}
25\cdot 35 \leq & F_A \leq 60\cdot 35\\
875 \leq & F_A\leq 2100.
\end{align*}
Das ist nun ein sehr großes Fenster und wir wollen die Näherung verbessern. Eine Möglichkeit wäre das arithmetische Mittel \(\frac{875+2100}{2}\) zu nehmen. Wir gehen jedoch einen anderen Weg und wollen die Idee der Rechtecke verallgemeinern. Anstatt die Funktion mit einem Rechteck von oben, und einem von unten zu nähern, machen wir dies nun mit jeweils zwei. Dazu wählen wir nun die Breite des Rechtecks \(\Delta x=\frac{35-0}{2}=17,5\) und als Höhe nun den jeweils höchsten beziehungsweise niedrigsten Wert der Intervalle \([0; 17,5]\) und \([17,5 ; 35]\).

inselgrafiken_61    inselgrafiken_62

Lesen wir die gerundeten Werte ab, so liegt die Fläche \(F_A\) nun zwischen
\begin{align*}
28.25\cdot 17.5+25\cdot 17.5 \leq & F_A\leq 60\cdot 17.5 + 35\cdot 17.5 \\
931.88 \leq & F_A \leq 1662.5.
\end{align*}
Wir nennen die Summe der oberen Rechtecke Ober- und die der unteren Untersumme, \(O_2\) und \(U_2\). Uns ist dabei intuitiv klar, dass wir dieses Verfahren weiter führen können und wir wollen diese Vorgehensweise im folgenden ein wenig formalisieren.

Ober- und Untersummen im Grenzwert

Als nächstes würde man Ober- und Untersumme für \(n=3\) Rechtecke festlegen. Die Breiten der Rechtecke sind dann jeweils \(\Delta x=\frac{35-0}{3}\) und die jeweiligen Höhen erneut durch Maximum und Minimum in diesen Intervallen festgelegt. (Das Auffinden dieser Maximas und Minimas ist nicht trivial. Wir benötigen hier jedoch nur ihre Existenz, und diese gibt uns der Satz von Weierstrass, vgl. Anmerkungen.)
Die zwei Summen für \(O_3\) und \(U_3\) nähern unsere Fläche noch besser. Dieses Spiel können wir fortsetzen und die tatsächliche Fläche wird immer enger zwischen der Ober- und Untersummen "eingeklemmt".

inselgrafiken_unterobersumme_3    inselgrafiken_unterobersumme_7

Probiere es selbst in der interaktiven GeoGebra-Datei.

Wir können die Fläche demnach von oben und unten durch zwei Folgen \(O_n\) und \(U_n\) beliebig nähern und die tatsächliche Fläche "einquetschen". Die erste Frage, die sich stellt, ist, "Geht das immer"? Nein, im allgemeinen nicht! Man kann jedoch zeigen, dass es für alle stetigen (und sogar noch für mehr) Funktionen klappt und die zwei Folgen gegen den selben Wert, der tatsächlichen Fläche, konvergieren.

Das bestimmte Integral

Die Fläche einer stetigen Funktion \(f\), mit \(f>0\), im Intervall \([a;b]\) ist dann gegeben durch das sogenannte bestimmte Integral
\begin{align*}
\int_a^b f(x)dx.
\end{align*}
Woher kommt die Schreibweise? Definiert man Ober- und Untersummen \(O_n\) und \(U_n\) mit Hilfe des Summenzeichens \(\sum\) (dabei sind \(x_i\) die Minimas und \(x_j\) die Maximas der Intervalle)
so erhalten wir
\begin{align*}
U_n \leq & \int_a^b f(x) dx \leq O_n \\
\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\cdot \Delta x \leq & \int_a^b f(x) dx \leq \sum_{j=1}^{n} f(x_j)\cdot \Delta x\\
\vdots & \lim_{n\to\infty } \vdots \\
\sum_{i=1}^{\infty} f(x_i)\cdot \Delta x \leq & \int_a^b f(x) dx \leq \sum_{j=1}^{\infty} f(x_j)\cdot \Delta x\\
\end{align*}

 


Das Integral kann also als "die unendliche Summe \(\int\) unendlich schmaler Streifen mit Breite \(dx\) und Höhe \(f(x)\)" aufgefasst werden. Das Integralzeichen \(\int\) entsprang demnach dem Summenzeichen \(\sum\) und das \(dx\) sind die unendlich schmalen Streifen resultierend aus \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\) für \(n\to\infty\). Dieser Abschnitt misst natürlich einiges an mathematischer Exaktheit, ihr findet die komplette Ausführung unter den Anmerkungen, es sollte nur die Schreibweise erläutert werden.
Weshalb setzen wir \(f>0\) voraus? Wir werden später (in einem anderen Beispiel) sehen, dass ein bestimmtes Integral auch negativ sein kann und dies widerspricht natürlich unserem intuitivem Flächenbegriff. Man kann das bestimmte Integral ebenso losgelöst von der Flächenberechnung definieren. Wie berechnet man nun bestimmte Integrale und in unserem Kontext damit die Fläche? Wir hatten in einem anderen Kontext im vorigen Abschnitt eine Funktion \(s\) gesucht zu \(v\), um die Wegstrecke eines Zuges zu berechnen. Motiviert aus der Physik verlangten wir bezüglich \(s\), dass \(s'=v\) gilt. Später bemerkten wir, dass die Formel zur Flächenberechnung unter dem Graphen von \(f\) dieselbe Gestalt wie \(s\) hat und dass die Fläche unter \(f\) demnach dem Wert der Wegstrecke von \(v\), berechnet mit Hilfe von \(s\), entspricht. Die Funktion \(s\) mit \(s'=v\) nennt man eine Stammfunktion von \(v\) und den Zusammenhang zwischen bestimmten Integral und Stammfunktion erklärt der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.

Die Stammfunktion und ihre Anwendung

Wir nennen eine differenzierbare Funktion \(F\) mit \(F'=f\) eine Stammfunktion \(F\) von \(f\), ein wenig genauer, eine Stammfunktion \(F\) erfüllt
\begin{align*}
F'(x)=f(x) \quad (\text{für alle } x\in D_f).
\end{align*}
Warum schreiben wir "eine"? Haben wir eine Stammfunktion gefunden, existieren automatisch unendlich viele. Als kurzer Exkurs, es erfüllen \(F_1(x)=x^2\) und \(F_2(x)=x^2+1\) beide \(F_1'(x)=F_2'(x)=2x\)! Sie sind also beide Stammfunktion zu \(f(x)=2x\). Intuitiv ist uns dann klar, zwei Stammfunktionen \(F_1\) und \(F_2\) einer Funktion \(f\) unterscheiden sich demnach nur um eine Konstante \(C\):
\begin{align*}
F_1(x)-F_2(x)=C.
\end{align*}
Besitzt eine Funktion \(f\) (\(f>0\)) eine Stammfunktion \(F\), so können wir die Fläche mit \(F(b)-F(a)\) berechnen. Diesen Zusammenhang erklärt eine Anwendung des Hauptsatzes der Differential und Integralrechnung, die sogenannte Newton-Leibniz-Formel:
Sei \(f\) eine stetige Funktion auf einem Intervall \([a;b]\) und \(F\) eine Stammfunktion, dann gilt
\begin{align*}
\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).
\end{align*}
Existiert immer eine Stammfunktion? Wie zuvor erwähnt kann man zeigen, ja, jede auf einem Intervall \([a;b]\) stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion und wir erhalten sie über
\begin{align*}
F(x)=\int_a^x f(t)dt.
\end{align*}
Wir kommen zurück zu unserem Beispiel. Der Nachbar des Grundstückbesitzers möchte einen Teil seines Grundstücks verkaufen, unser Grundstückbesitzer kann dadurch sein Grundstück verbreitern. In Abhängigkeit der dazugekauften Breite \(x\) und \(f\) erhält er die hinzugekommene Fläche. Er möchte nun eine Funktion \(F\) erstellen, die diese Fläche berechnet. Ausgehend vom bestimmten Integral, der dortigen Flächenberechnung und unserer neuen Theorie über Stammfunktionen erhalten wir
\begin{align*}
F(x)=\int_{35}^x f(t)dt.
\end{align*}
Funktioniert diese Funktion wie wir wollen? Ja, \(F\) berechnet in Abhängigkeit von \(x\) die Fläche im Intervall \([35;x]\). Dabei wird die linke Grenze, in unserem Fall 35, "festgehalten". Da unsere unabhängige Variable \(x\) im Integranten steht, nennt man \(f(x)\) und \(dx\) in \(f(t)\) und \(dt\) um, statt \(t\) wird auch oft \(u\) oder \(s\) gewählt,
\begin{align*}
F(x)=\int_{35}^x f(t)dt=\int_{35}^x f(u)du=\int_{35}^x f(s)ds.
\end{align*}
Damit berechnen wir nun unsere hinzugekommende Fläche.

Zur interaktiven GeoGebra-Datei

Das unbestimmte Integral

Wenn es ein bestimmtes Integral gibt, was ist dann das sogenannte unbestimmte Integral? Hier ist sich die Literatur und die Lehre nicht ganz einig. Eine oft verbreitete Möglichkeit versuchen wir im folgenden Beispiel zu illustrieren: Angenommen unser Grundbesitzer möchte einen Weg zum Meer Pflastern. Er weiß die Breite, ist sich jedoch noch nicht über den genauen Standpunkt sicher.

inselgrafiken_8

Die jeweilig zu pflasternden Flächen sind durch
\begin{align*}
\int_8^{10} f(x)dx, \quad \int_{20}^{22} f(x)dx, \quad \int_{29}^{31} f(x)dx
\end{align*}
gegeben. Soll er nun die drei Stammfunktionen
\begin{align*}
\int_8^{x} f(t)dt, \quad \int_{20}^{x} f(t)dt, \quad \int_{29}^{x} f(t)dt
\end{align*}
bilden um die Flächen auszurechnen? Besitzen wir nur eine einzige Stammfunktion \(F\) zu \(f\), so können wir diese Flächen schnell ausrechnen über
\begin{align*}
F(10)-F(8), F(22)-F(20), F(31)-F(29).
\end{align*}
Warum noch einmal? Lesen wir noch einmal den Term \(F(31)-F(29)\), so ist das "die Fläche von \(a\) bis 31 Minus die Fläche von \(a\) bis 29, da bleibt die Fläche zwischen 31 und 29 übrig". Auf der Suche nach einer Stammfunktion (oder der Menge aller Stammfunktionen) schreibt man oft einfach das unbestimmte Integral
\begin{align*}
\int f(x)dx=F(x)+C,\qquad C\in\mathbb{R}
\end{align*}
und wählt bei Rechenaufgaben "die einfachste" Stammfunktion. Welche dies im Allgemeinen ist, betrachten wir im folgenden Kapitel bei einigen Rechenbeispielen.

Anmerkungen

Unsere Funktion \(f\) dieses Kapitels ist ein Approximationspolynom durch die eingezeichneten Punkte. Der Funktionsterm von Geogebra ist auf zehn Dezimalen gerundet.
\begin{align*}
f(x)=&-0,000000004x^7+0,0000007817x^6-0,0000553662x^5+0,0016378182x^4-\\
& -0,0133522286x^3-0,1540381437x^2+0,2172940595x+60,
\end{align*}
Wie wir aber gesehen haben, war die Komplexität und Ausführung der Begriffe unabhängig vom Funktionsterm.
Sind Differenzieren und Integrieren Funktion und Umkehrfunktion? Streng gesehen nein, denn das Integrieren selbst über das unbestimmte Integral ist keine Funktion, bildet es auf eine Menge an (Stamm-)Funktionen ab. Den genauen Zusammenhang erklärt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (oft auch Fundamentalsatz der Anaylsis genannt), dieser besagt folgendes:

Sei \(f\) eine auf einem abgeschlossenen Intervall \(I=[a;b]\) definierte Funktion und stetig sowie \(x_0\in [a;b]=I\). Dann folgt, dass die mit \(F\) definierte Funktion
\begin{align*}
F(x)=\int_{x_0}^x f(t)dt
\end{align*}
eine Stammfunktion von \(f\) auf \(I\) ist, es gilt also \(F'(x)=f(x)\) für alle \(x\in I\). Weiter gilt
\begin{align*}
\int_{a}^b f(t)dt=F(b)-F(a).
\end{align*}

Der Satz von Weierstrass garantiert, dass wir beim bilden der Unter- und Obersummen auf den (kleiner werdenden) abgeschlossenen Intervallen das jeweilige Maximum und Minimum existiert:

Jede auf einem abgeschlossenen Intervall \([a;b]\) definierte Funktion \(f\) ist beschränkt und nimmt sowohl Maximum als auch Minimum an.