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Einfachste Stammfunktionen

Der Hauptgedanke beim Integrieren und Auffinden der Stammfunktion \(F\) ist, dass \(F'=f\) gelten muss. Daher nennen viele das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens, dies ist so nicht ganz richtig. Wir zitieren Professor Kriegl von der Universität Wien, "Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung besagt also, dass Integrieren und Differenzieren im wesentlichen (d.h. bis auf Addition einer Konstanten) invers zueinander sind." Davon ausgehend bevorzugen wir den Gedankengang "was abgeleitet ergibt das?" und werden sehen, das reicht im Üblichen vollkommen aus.

Beginnen wir mit einem ersten Beispiel, zu unserer Normalparabel \(f(x)=x^2\) finden wir eine Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{3}x^3\), wir wissen jedoch, dass dies nicht die einzige Stammfunktion ist. Auch \(F_1(x)=\frac{1}{3}x^3+1\) ist eine Stammfunktion mit \(F_1'=f\). Es gibt, wie wir uns bereits überlegt hatten, unendlich viele Stammfunktionen, sie haben die Form \(\frac{1}{3}x^3+C\). Hier zeigt sich nun die Handlichkeit der Schreibweise des unbestimmten Integrals \(\int dx\), in unserem Fall \(\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C,C\in\mathbb{R}\). Ging das Ergebnis zu schnell? Wir wissen aus der Differenzialrechnung, dass \(x^3\) abgeleitet "etwas quadratisches ergibt", genauer wissen wir, dass \([x^3]'=3x^2\) gilt. Nun stört uns das \(3\) in \(3x^2\), suchen wir doch eine Stammfunktion von \(x^2\). Daher fügen wir noch einen multiplikativen "Ausgleichsterm" hinzu, dabei haben wir indirekt die aus der Differentialrechnung bekannte Regel \([a\cdot f(x)]'=a\cdot f'(x)\) angewandt. Wir erhalten dann die Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{3}x^3\) und die Menge aller Stammfunktionen ist gegeben durch \(\frac{1}{3}x^3+C,C\in\mathbb{R}\).

Es ergibt sich folgende Tabelle

\(f(x)\) \(\int f(x) dx\)
\(a\cdot f(x)\) \(a\cdot F(x)+C\)
\(f(x)\pm g(x)\) \(F(x)\pm G(x)+C\)
\(1\) \(x+C\)
\(x\) \(\frac{1}{2}x^2+C\)
\(x^n\) \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)
\(\cos x\) \(\sin x+C\)
\(\sin x\) \(-\cos x+C\)
\(e^x\) \(e^x+C\)

mit \(C\in\mathbb{R}\) und \(n\in \mathbb{Z}\setminus {-1}\). Wir rechnen ganz einfach \([\frac{1}{n+1}x^{n+1}]'=\frac{1}{n+1}\cdot (n+1)x^{n}=x^n\) nach. Weiter merkten wir uns in der Differenzialrechnung "Sinus abgeleitet ergibt Cosinus", daher ist die Sinusfunktion die Stammfunktion des Cosinus. Umgekehrt ergibt \([\cos x]'=-\sin x\) und daher ist die Stammfunktion der Sinusfunktion \(-\cos x\), wir "müssen das Minus ausgleichen wie zuvor den Bruch".

Damit können wir auch manch komplizierteres Integral berechnen. Betrachten wir die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sin (3x)\), der erste Gedanke ist, dass \(\cos (3x)\) eine Stammfunktion ist. Es gilt aber aufgrund der Kettenregel \([\cos (3x)]'=\sin (3x)\cdot 3\). Wir müssen ähnlich wie zuvor die Kettenregel "ausgleichen" und erhalten als Stammfunktion \(\frac{1}{3}\cos (3x)\) mit
\begin{align*}
[\frac{1}{3}\cos (3x)]'=\frac{1}{3}\sin (3x)\cdot 3=\sin (3x).
\end{align*}

Wir schließen daher verallgemeinert

\(f(x)\) \(\int f(x) dx\)
\(f(k\cdot x)\) \(\frac{1}{k}\cdot F(k\cdot x)+C\)

und mit ähnlichen Überlegungen erhalten wir sogar

\(f(x)\) \(\int f(x) dx\)
\(f(k\cdot x+d)\) \(\frac{1}{k}\cdot F(k\cdot x+d)+C\)

mit \(C, k, D\in\mathbb{R}\).

Beispiele

Polynome: Finden Sie die Menge aller Stammfunktionen für folgende Polynomfunktionen: \(f(x)=x-x^2\), \(g(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{x}{4}\) und \(h(x)=x^3-x\).

Lösung

Wenden wir die Integrationsregeln für \(a\cdot f(x)\), \(f(x)+g(x)\) und \(x^n\) an, erhalten wir
\begin{align*}
F(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+C, G(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{8}+C, H(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}+C,\quad C\in\mathbb{R}.
\end{align*}

Die kleine Substitutionsregel: Beim Integrieren von \(f(k\cdot x+d)\) wenden wir (unbewusst) die sogenannte Integration durch Substitution an. Diese hilft, viele Stammfunktionen zu finden, in unserer abgeschwächten Version "basteln" wir hingegen nur sehr einfache Stammfunktionen, wenn wir die Kettenregel durch überlegen umkehren können. Wir sollen nun also die Stammfunktionen von \(f(x)=e^{3x-1}\) finden.

Lösung

Wir wissen aus der Kettenregel, dass \([e^{3x-1}]'=e^{3x-1}\cdot 3\) gilt. Wir setzen an
\begin{align*}
& [e^{3x-1}]'=e^{3x-1}\cdot 3 \Rightarrow [\frac{1}{3}e^{3x-1}]'=\frac{1}{3}e^{3x-1}\cdot 3=e^{3x-1} \\
\Rightarrow & \int e^{3x-1}dx=\frac{1}{3}e^{3x-1}+C,\quad C\in\mathbb{R}.
\end{align*}