Inhalt
» Grundbegriffe
» Ereignisoperationen am Venn-diagramm
» \((...),\{...\}\) und andere Schreibweisen
» Venn-Diagramm für \(A,B\) und \(C\)

Grundbegriffe

Im Folgenden untersuchen wir immer einen Zufallsversuch. Synonym dazu wird oft das Zufallsexperiment genutzt. Ein Zufallsversuch ist das Beobachten eines Versuches, dessen Versuchsausgang uns unbekannt ist und zufällig wirkt. Klassische Beispiele sind der Würfelwurf, der Münzwurf, das Roulettespiel aber auch die Ampelfarbe, wenn ihr in eine Straße abbiegt, oder das Geschlecht eines Kindes unterliegen gewissermaßen dem Zufall.

Alle möglichen Versuchsausgänge fasst man unter der Grundmenge \(\Omega\) (Omega, der letzte Buchstabe des griechischen Alphabets, von \(A\) bis \(O\), von Anfang bis Ende, von Alpha bis Omega) zusammen, beim Würfelwurf wäre das \(\Omega_W =\{ 1,2,3,4,5,6\}\) und bei der Ampel \(\Omega_A =\{ Ge, Ro, Gr\}\) für Geld, Rot und Grün. (Seltenste) Spezialfälle wie "Kippe" oder "Ampel kaputt" werden üblicherweise ausgeschlossen. Die einzelnen Ereignisse von \(\Omega\) nennen wir Elementarereignisse \(\omega_1 ,\dots \omega_n\).

Ein mögliches Ereignis \(A\) (oder Versuchsausgang) ist dann eine Teilmenge von \(\Omega\), man schreibt dazu \(A\subset \Omega\). So ist das Ereignis \(A:=\)"eine 1 wird gewürfelt" ganz anschaulich \(A=\{ 1\}\subset \{ 1,2,3,4,5,6\}=\Omega_W\). Wir können aber auch komplizierte Ereignisse anschauen, zum Beispiel \(B:=\)"eine Primzahl wird gewürfelt". Dies ergibt dann
\begin{align*}
B=\{ 2,3,5\}\subset \{ 1,2,3,4,5,6\}=\Omega_W.
\end{align*}
Das Ereignis \(B\) besteht also aus den drei Elementarereignissen 2,3 und 5.

Jedes Ereignis hat ein Gegenereignis \(A^c\), \(c\) von "complement", oft wird auch \(A'\) oder \(\bar{A}\) geschrieben. Es besteht umgangssprachlich "aus allen anderen Elementen von \(\Omega\)" und wir schreiben \(\Omega\setminus A\) (Omega ohne \(A\)). Im vorigen Beispiel erhalten wir für
\begin{align*}
A^c= \{ 2,3,4,5,6\}=\{ 1,2,3,4,5,6\}\setminus \{1\}
\end{align*}

Ereignisoperationen am Venn-diagramm

In diesem Abschnitt möchten wir uns die unterschiedlichsten Operationen zwischen Mengen an einem Venn-Diagramm veranschaulichen. Das Venn-Diagramm besteht aus zwei Teilmengen \(A,B\) von \(\Omega\), also \(A,B\subset \Omega\). Üblicherweise sieht es wie folgt aus:

wahrscheinlichkeit/venn_0Ganz intuitiv beschreibt zum Beispiel der mittlere Bereich die Elementarereignisse, die zu \(A\) und \(B\) gehören. Die Menge \(A^c\) lässt sich wie folgt beschreiben:

wahrscheinlichkeit/venn_2

 Und nun betrachten wir weitere Operationen. Der zuvor erwähnte Schnitt \(A\cap B\) zweier Mengen beschreibt die Elemente, welche in \(A\) und \(B\) vorhanden sind.

wahrscheinlichkeit/venn_1

 Die Vereinigung \(A\cup B\) bezeichnet die Elemente, welche in \(A\) oder \(B\) enthalten sind. "Oder" bezeichnet hier kein "Entweder Oder", die Elemente von \(A\cup B\) müssen also in mindestens einer der zwei Mengen \(A,B\) enthalten sein.

wahrscheinlichkeit/venn_3Möchten wir \(A\) ohne die Elemente von \(B\) beschreiben, so schreiben wir \(A\setminus B\).

wahrscheinlichkeit/venn_4Haben die Mengen \(A\) und \(B\) nichts gemeinsam, gilt also \(A\cap B=\emptyset\), sieht das ganze wie folgt aus:

wahrscheinlichkeit/venn_5

 \((...),\{...\}\) und andere Schreibweisen

Idealerweise definiert man ein Ereignis eindeutig, so sei zum Beispiel \(U\) das Ereignis, beim zweimaligen Münzwurf unterschiedliche Symbole zu werfen. Wir schreiben dann \(U:=\)"unterschiedliche Symbole beim zweimaligen Münzwurf". Oft möchte man jedoch Zeit sparen und behilft sich mit Klammern. So versteht man unter \((W,K)\) das Ereignis, zuerst Wappen, dann Kopf geworfen zu haben. Die runden Klammern \((...)\) geben also eine Reihenfolge vor. Auf der anderen Seite machen dies \(\{ ...\}\) nicht und mit \(\{ W,K \}\) ist einmal Wappen, einmal Kopf, ohne Beachtung der Reihenfolge gemeint.

Venn-Diagramm für \(A,B\) und \(C\)

Auch für drei Teilmengen \(A,B,C\) kann man Venn-Diagramme erstellen.

wahrscheinlichkeit/venn_6

 Für \(A\cap B\cap C\) gilt dann

wahrscheinlichkeit/venn_7

Ab dann wird es jedoch schwer, die geometrischen Überlegungen für zwei und drei Mengen lassen sich jedoch auch für mehr Mengen verallgemeinern.