Inhalt
» Definition des Erwartungswertes
» Varianz und Standardabweichung
» Beispiele
» Anmerkungen

Definition des Erwartungswertes

Der Erwartungswert \(E(X)\), oftmals auch \(\lambda\) oder \(\mu\), ist umgangssprachlich der Wert, dessen Wahrscheinlichkeit einzutreten, am höchsten ist. Genauer gesagt kennzeichnet er nur einen Bereich, denn wir werden zum Beispiel sehen, dass für den Würfelwurf \(\mu =3,5\) eintritt.

Für eine diskrete Zufallsvariable mit Ereignisraum \(\Omega ={\omega_1,\dots , \omega_n}\) gilt für den Erwartungswert
\begin{align*}
E(X) & =\sum_{i=1}^n \omega_i\cdot P(X=\omega_i)=\\
& \omega_1\cdot P(X=\omega_1)+\dots \omega_n\cdot P(X=\omega_n).
\end{align*}
Für eine diskrete Zufallsvariable mit abzählbar unendlichem Ereignisraum \(\Omega ={\omega_1,\dots }\) gilt für den Erwartungswert
\begin{align*}
E(X) & =\sum_{i=1}^\infty \omega_i\cdot P(X=\omega_i)=\\
& \omega_1\cdot P(X=\omega_1)+\omega_2\cdot P(X=\omega_2)+\dots .
\end{align*}
Für eine stetige Zufallsvariable mit Ereignisraum \(\mathbb{R}\) gilt für den Erwartungswert
\begin{align*}
E(X) & =\int_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)dx.
\end{align*}
Varianz und Standardabweichung

Die Varianz misst ähnlich wie in der Statistik die Streuung um den Erwartungswert, wir zitieren uns selbst aus der Statistik, "Genauer gesagt misst die Varianz die mittlere Abweichung vom arithmetischen Mittel." Sie gewichtet Werte nahe dem Erwartungswert weniger stark als Werte weiter weg aufgrund des Quadrierens.

Beispiele

Der Würfelwurf: Wie berechnet sich der Erwartungswert des Würfelwurfes, dessen Ergebnis wir schon vorweg genommen haben? Wir haben \(\Omega ={1, 2,\dots , 6}\) und sofern es sich um einen fairen Laplace-Würfel handelt, sind alle Ereignisse gleich wahrscheinlich mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\). So folgt:

\begin{align*}
E(X) & =\sum_{i=1}^6 \omega_i\cdot P(X=\omega_i)=\\
& =1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+\dots +6\cdot P(X=6)=\\
& =1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+\dots +6\cdot \frac{1}{6}=\\
& =3,5:=\mu .
\end{align*}

 

Ähnlich gehen wir in der Varianz strikt nach der Formel vor
\begin{align*}
Var(X) & =\sum_{i=1}^6 (\omega_i-\mu)^2 \cdot P(X=\omega_i)=\\
& =(1-3,5)^2\cdot P(X=1)+(2-3,5)^2\cdot P(X=2)+\dots +(6-3,5)^2\cdot P(X=6)=\\
& =2,5^2\cdot \frac{1}{6}+1,5^2\cdot \frac{1}{6}+\dots +2,5^2\cdot \frac{1}{6}=\\
& =2,91667.
\end{align*}

 

Augensummen: Was sind Erwartungswert und Varianz der Augensumme des zweimaligen Würfelwurfes? Zuvor haben wir bereits die folgende Tabelle erstellt.

 

\(x\) 2 3 4 5 6 7
\(P(X=x)\) \(\frac{1}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{6}{36}\)
\(x\) 8 9 10 11 12  
\(P(X=x)\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{1}{36}\)  

 

Wir wenden wieder unsere Formeln an:
\begin{align*}
E(X) & =\frac{1}{36}\cdot 2 + \frac{2}{36}\cdot 3+\dots +\frac{1}{36}\cdot 12=\\
& = 7.
\end{align*}
Analog erhalten wir für die Varianz
\begin{align*}
Var(x) & = \frac{1}{36}\cdot (2-7)^2 +\frac{2}{36}\cdot (3-7)^2 +\dots +\frac{1}{36}\cdot (12-7)^2 =\\
& = \frac{35}{6}\approx 5,83\\
\Rightarrow \sigma & = \sqrt{5,83}=2,42.
\end{align*}

 

Anmerkungen

Dieses Kapitel steht im Gegensatz zu den stetigen Zufallsvariablen ein wenig hilflos bezüglich Beispielen da, haben wir schließlich noch kaum Beispiele betrachtet. In den jeweiligen Kapiteln der stetigen Zufallsvariablen finden sich jedoch immer die Angabe von Erwartungswert und Varianz.

Die Formel des Erwartungswertes ähnelt dem des arithmetischen Mittels sehr. Sie berechnen auch sehr ähnliche Dinge, der durchschnittliche eingetretene Wert eines Datensatzes und der zu erwartende durchschnittliche Wert eines Zufallsversuches. Exakt definiert berechnet \(Var(X)=E(X-\mu )^2)\).

Oftmals wird statt \(\omega_i\), wieder angelehnt an die Funktionen und die stetige Zufallsvariable, \(x_i\) und \(f(x_i)\) verwendet, zum Beispiel
\begin{align*}
E(X) & =\sum_{i=1}^n x_i\cdot P(X=x_i)=\sum_{i=1}^n x_i\cdot f(x_i).
\end{align*}

Oft bevorzugt man in der Mathematik die Standardabweichung gegenüber der Varianz. Hat unsere Zufallsgröße \(X\) eine Einheit, zum Beispiel \(cm\), so hat die Varianz die Einheit \(cm^2\), die Standardabweichung aber, "aufgrund des Wurzelziehens", \(cm\). Sie hat also die selbe Einheit wie der Erwartungswert. Es gibt in der Statistik eine Faustregel, die besagt, dass sich im Bereich \(E(X)\pm \sigma\) "das meiste abspielt" und im Bereich \(E(X)\pm 2\sigma\) "fast alles". Im Beispiel des doppelten Würfelwurfes erhalten wir den Bereich \([\mu -\sigma, \mu+\sigma ]=[4,58; 9,42]\) wo sich fast alle Würfelwürfe befinden und im Bereich \([\mu -2\sigma, \mu+2\sigma ]=[2,16; 11,48]\) befinden sich dann tatsächlich fast alle möglichen Ergebnisse. Mehr dazu findet ihr in der deskriptiven Statistik.