Inhalt
» Laplace-Wahrscheinlichkeiten
» Beispiele
» Die Axiome von Kolmogorov
» Anmerkungen

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (oder Wahrscheinlichkeitsverteilung) \(P\) macht nichts anderes als einem definiertem Ereignis \(A\subset \Omega\) eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Für alle Zufallsexperimente gelten für die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(A\) folgende Eigenschaften:

Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit \(0\) (tritt in 0 \(\%\) der Fälle ein).
Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit \(1\) (tritt in 100 \(\%\) der Fälle ein).
Für die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse \(A\subseteq \Omega\) gilt \(0\leq P(A)\leq 1\).
Für Ereignis und Gegenereignis gilt \(P(A')=1-P(A)\) beziehungsweise \(P(A')+P(A)=1\) (Ereignis oder Gegenereignis treten ein).

Bevor wir zu einigen Beispielen kommen, motivieren wir die vermutlich intuitivste Wahrscheinlichkeitsverteilung anhand der Münze. Beim Münzwurf gibt es zwei Seiten. Jede dieser Seiten ist gleichwahrscheinlich, wir nennen die Münze dann fair oder auch ungezinkt. Die Wahrscheinlichkeit für die zwei Elementarereignisse Wappen \(W\) oder Zahl \(Z\) ergibt dann
\begin{align*}
P(W)=P(Z)=\frac{1}{2}.
\end{align*}
Diese für uns natürlichste Wahrscheinlichkeitsverteilung geht auf den französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace zurück.

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Laplace geht von Zufallsexperimenten aus, bei denen alle \(n\) Elementarereignisse \(\omega_1\) bis \(\omega_n\) von \(\Omega\) gleichwahrscheinlich sind. Dann gilt für jedes Elementarereignis
\begin{align*}
P(\omega_1)=P(\omega_2)=\dots P(\omega_n)=\frac{1}{n}.
\end{align*}
In einem sogenannten Laplace-Experiment müssen wir dann nur für uns die günstigen Elementarereignisse des Ereignisses \(A\) zählen. Es gilt dann die einfache Formel
\begin{align*}
P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{\operatorname{guenstige}}{\operatorname{moegliche}}.
\end{align*}

Beispiele

Würfelwurf: Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse \(A:=\)"eine 1 wird gewürfelt" und \(B:=\)"eine Primzahl wird gewürfelt" an.

Lösung

Das Ereignis \(A\) besteht aus dem Elementarereignis \(\omega_1=\{ 1\}\). Alle sechs Elementarereignisse sind bei einem fairen Würfel (wir nennen ihn zukünftig auch Laplace-Würfel) gleich groß, daher gilt
\begin{align*}
P(A)=\frac{1}{6}.
\end{align*}
Für den Würfelwurf einer Primzahl zählen wir die dazugehörigen Elementarereignisse \(B =\{ 2,3,5\}\), es sind drei, also\(|B|=3\) und
\begin{align*}
P(B)=\frac{|B |}{|\Omega |}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
\end{align*}

Gegenbeispiel Ampel: Die Ampel hat drei verschieden Phasen, Grün, Gelb und Rot. Diese sind unterschiedlich lang, daher sind die Elementarereignisse \(\Omega =\{ Ge, Ro, Gr\}\) nicht gleich wahrscheinlich. Es handelt sich nicht um ein Laplacesches Zufallsexperiment! Es gilt also im allgemeinen
\begin{align*}
P(Ge)\neq P(Ro)\neq P(Gr)\neq \frac{1}{3}.
\end{align*}


Geometrische Wahrscheinlichkeiten, das Glücksrad: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn \(G\) bei diesem Glücksrad zu erhalten.

gluecksrad_1

Lösung

Gehen wir davon aus, dass alle Zeigerstände des Glücksrads gleich wahrscheinlich sind so haben wir ein Laplace-Experiment. Dann können wir die Fläche über den passenden Winkel identifizieren und damit die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Eine kurze geometrische Messung zeigt uns, dass

 

gluecksrad_2

 

gilt. Der komplette Kreis umfasst bekanntlich \(360^\circ\) und wir erhalten
\begin{align*}
P(G)=\frac{45^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{8}.
\end{align*}

Wir könnten auch direkt den Gewinnbereich wie folgt

 

gluecksrad_3

 

als einen Achtel-Kreis (\(\frac{1}{8}\)) auffassen und den ganzen Kreis als ein, also \(1\), Kreis und erhalten direkt über die Fläche dadurch auf einem anderen Weg das selbe Ergebnis
\begin{align*}
P(G)=\frac{\frac{1}{8}}{1}=\frac{1}{8}.
\end{align*}

Die Axiome von Kolmogorov

Andrei Kolmogorow hat in den 1930er Jahren die folgenden, unseren sehr ähnlichen, Eigenschaften für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festgelegt:

Für jedes Ereignis \(A\subset \Omega\) gilt für die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\): \(0\leq P(A) \leq 1\).
Das sichere Ereignis \(\Omega\) hat die Wahrscheinlichkeit \(P(\Omega )=1\) .
Gilt für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\): \(A\cap B=\emptyset\), so folgt \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). \(A,B\) nennt man dann disjunkt.

Daraus folgt die wichtige Regel für beliebige \(A\) und \(B\)
\begin{align*}
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
\end{align*}
Wir visualisieren dies an einem Venn-Diagramm.

[Hier entsteht bald ein Bild.]

Wir sehen, dass wir bei \(P(A)+P(B)\) den mittleren Teil, nämlich \(P(A\cap B)\), zwei mal zählen (einmal für \(A\) und einmal für \(B\)) weshalb wir es einmal wieder abziehen.

Anmerkungen

Wir setzen die Theoriearbeit, insbesondere zu diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, im Kapitel diskrete und stetige Zufallsvariablen fort .