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» Vorbemerkung
» Die Formel
» Beispiele
» Anmerkung

Vorbemerkung

Eine Möglichkeit, die Poisson-Verteilung herzuleiten, ist über die Binomialverteilung. Ihr findet dazu mehr unter den Anmerkungen. Ebenso wie die Binomialverteilung gibt die Poisson-Verteilung Aussagen über das Ergebnis einer Reihe von Bernoulli-Experimenten. Wir erinnern uns, ein Bernoulli-Experiment hat eine gleichbleibende Wahrscheinlichkeit \(p\) und zwei Versuchsausgänge (dichotomes Experiment). Wir "kennen" jedoch nicht \(n\) und \(p\) sondern nur den Erwartungswert \(\lambda =n\cdot p\).

Die Poisson-Verteilung gehört auch zu der Familie der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die Formel

Weiß man von einer Poisson-verteilten Zufallsgröße den Erwartungswert \(\lambda\) so ist die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\) Treffer zu erhalten, gegeben durch
\begin{align*}
P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.
\end{align*}

Beispiel

Reis und Schachbrett: Auf ein Schachbrett mit 64 Feldern werden 110 Reiskörner geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem Feld kein Reiskorn liegt?

Lösung:

Die 110 Reiskörner auf 64 Felder bedeuten pro Feld im Schnitt \(\frac{110}{64}=1,72=\lambda\) Körner. Dadurch erhalten wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit über
\begin{align*}
P(X=0)=\frac{1,72^0}{0!}e^{-1,72}=0,1791.
\end{align*}

verteilungen/poisson1

Erwartungswert und Varianz
Der Erwartungswert einer Poisson-Verteilung ist ja nach Definition bereits
\begin{align*}
E(X)=\lambda.
\end{align*}
Genauso ist die Varianz gegeben durch
\begin{align*}
Var(X)=\lambda.
\end{align*}

Anmerkungen

Hier könnte man die Modellierung der Poisson-Verteilung aus der Binomialverteilung herleiten und auf Wikipedia findet sich ein rießiger Block, wann man Poisson überhaupt anwenden darf