Inhalt
» Vorbemerkung
» Herleitendes Beispiel
» Die Formel
» Beispiel
» Erwartungswert und Varianz

Vorbemerkung

Fassten wir die Binomialverteilung als sich wiederholendes Urnenexperiment auf, so müssten wir nach jedem Zug die Kugel zurücklegen. Denn wir verlangten eine gleichbleibende Wahrscheinlichkeit \(p\)! Die hypergeometrische Verteilung verlangt das nicht! Sie legt die Kugeln nicht zurück. Analog zur Binomalverteilung gibt es nur zwei Versuchsausgänge, "Treffer" und "Nieten". Sie ist also ebenfalls dichotom. Aufgrund ihrer "berühmtesten" Anwendung wird sie oft auch die Lotto-Formel genannt.

Herleitendes Beispiel

Beobachten wir ein Spiel Lotto (6 aus 49). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, fünf richtige zu erhalten (\(=:A\))? Wir teilen die 49 Kugeln in zwei Gruppen auf, sechs Gewinnkugeln und 43 Nieten. Dann möchten wir fünf der sechs Gewinnlose, dafür haben wir \(\binom{6}{5}\) Möglichkeiten (siehe Kombinatorik) und eine der 43 Nieten, \(\binom{43}{1}\). Insgesamt gibt es \(\binom{49}{6}\) Möglichkeiten die Kugeln auszuwählen, daher erhalten wir nach Laplace
\begin{align*}
P(A)=\frac{\binom{6}{5}\cdot \binom{43}{1}}{\binom{49}{6}}
\end{align*}

Die Formel

Sei nun \(N\) die Gesamtzahl aller Kugeln und \(G\) die Anzahl der günstigen Kugeln (Gewinne). Wir benötigen noch \(n\), die Anzahl der Kugeln, die wir ohne zurücklegen ziehen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\) günstige Kugeln zu ziehen, gegeben durch die Formel
\begin{align*}
P(X=k)=\frac{\binom{G}{k}\cdot \binom{N-G}{n-k}}{\binom{N}{n}}.
\end{align*}

Beispiel

Ubahn-Kontrolleure: In einem Waggon sind vierzig Passagiere, davon sind drei ohne Ticket. Ein Kontrolleur schafft pro Ubahnstation die Kontrolle von 15 Personen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens eine Person ohne Ticket erfolgreich kontrolliert?

Lösung

In unserer Urne sind \(N=40\) Kugeln wovon \(G=3\) günstig sind. Wir ziehen \(n=15\) mal und fragen uns nach der Wahrscheinlichkeit \(k\geq 1\) Treffer zu landen. Wie immer verwenden wir bei "mindestens eins" das Gegenereignis
\begin{align*}
P(X\geq 1)& =1-P(X=0)= \\
& =1-\frac{\binom{3}{0}\cdot \binom{37}{15}}{\binom{40}{15}}\approx0,77.
\end{align*}

lineare funktion4

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert \(E(X)\) der hypergeometrisch verteilten Zufallsvariable ist gegeben durch
\begin{align*}
E(X)=n\cdot \frac{G}{N}.
\end{align*}
Die Varianz hat eine, im Vergleich zur Binomialverteilung, weitaus kompliziertere Formel nämlich
\begin{align*}
Var(X)=n\cdot \frac{G}{N}\cdot (1-\frac{G}{N})\cdot \frac{N-n}{N-1}.
\end{align*}