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» Vorbemerkung
» Modellierung
» Beispiele
» Anmerkungen

Vorbemerkung

Die geometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung kann aus der Binomialverteilung oder einfach mit einer Überlegung am Baumdiagramm hergeleitet werden. Sie basiert ebenfalls auf einem Bernoulliexperiment, das bedeutet, wir haben zwei Versuchsausgänge und eine konstant bleibende "Treffer"-Wahrscheinlichkeit \(p\).

Die geometrische Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man auch eine Wartezeitverteilung. Sie berechnet die Wahrscheinlichkeit, wie lange (\(n\)) es dauert, bis ein Erfolg eintritt.

Modellierung

Betrachten wir den Würfelwurf, dann berechnet die geometrische Verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass man beim \(n\)-ten Wurf das erste Mal eine 6 kommt. Mit Hilfe unserer Baumdiagramme können wir uns das ganz leicht herleiten.

[Hier wird bald ein Bild eingefügt]

Wir schließen daraus

 

\(X=n\) \(X=1\) \(X=2\) \(X=3\) \(X=4\)
\(P(X=n)\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{5}{6}\frac{1}{6}\) \((\frac{5}{6})^2\frac{1}{6}\) \((\frac{5}{6})^3\frac{1}{6}\)

 

Die Formel

Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem Bernoulliexperiment genau \(n\) Versuche benötigt, um den ersten Treffer zu erhalten, nennt man geometrisch verteilt und ist gegeben durch
\begin{align*}
P(X=n)=(1-p)^{n-1}\cdot p
\end{align*}

Die geometrische Verteilungsfunktion hat eine relativ einfache explizite kumulative Verteilungsfunktion \(F\)
\begin{align*}
P(X\leq n)=F(n)=1-(1-p)^n.
\end{align*}

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert \(E(X)\) der geometrisch verteilten Zufallsvariable ist gegeben durch
\begin{align*}
E(X)=\frac{1}{6}.
\end{align*}
Die Varianz ist gegeben durch
\begin{align*}
Var(X)=\frac{1-p}{p^2}.
\end{align*}

Beispiele

Glühbirnen: Eine Glühbirne geht pro Einschalten mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p=\frac{1}{1000}\) defekt. Laut Herstellerangabe hat sie eine Lebensdauer von 3000 Einschalten. Stimmt diese Aussage für 90 Prozent der Glühbirnen?

Lösung:

Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit, dass der Defekt frühestens beim 3001 Einschalten eintritt, also \(P(X\geq 3001)\), denn wir beschweren uns ja nicht, wenn es erst beim 3002ten mal geschieht. Nun verwenden wir das Gegenereignis und damit dann die kumulative Verteilungsfunktion
\begin{align*}
P(X\geq 3001) & = 1-P(X\leq 3000) \\
& = 1-(1-\frac{1}{1000})^{3000} \approx 0,9503.
\end{align*}
Der Hersteller hat also recht, die Aussage tritt sogar in 95,03 Prozent der Fälle ein.

Das Drei-Mindestbeispiel: Dieses Beispiel hat aufgrund der oftmals ähnlichen Aufgabenstellung einen Spitznamen erhalten. Es ist letztendlich aber eine Aufgabe der Algebra im "Gewand der Wahrscheinlichkeitsverteilung", wir haben bereits ein ähnliches Beispiel mit der Binomialverteilung hier Link gelöst: wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 Prozent mindestens eine 6 gewürfelt wurde?

Lösung:

Wir wollen also, dass die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln in der Wartezeit \(n\) (Versuche), mindestens \(0,95\) beträgt. Das bedeutet
\begin{align*}
P(X\leq n)\geq 0,95 \\
1-(1-\frac{1}{6})^n\geq 0,95 \\
0,05\geq (1-\frac{1}{6})^n \\
\log (0,05)\geq n\cdot \log (\frac{5}{6})\\
\frac{\log (0,05)}{\log (\frac{5}{6})}\leq n\\
16,43 \leq n
\end{align*}

 

 


Also müssen wir mindestens 17 mal würfeln um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 Prozent mindestens eine 6 gewürfelt zu haben.

Anmerkungen

Aufgrund der Verwandtschaft zur Binomialverteilung schreibt man in vielen Lehrbüchern und hier auch \(P(X=n)\) statt \(P(X=x)\) oder \(P(X=k)\) da es sich "um einen Ast der Binomialverteilung mit \(n\) und \(p\)" handelt, anders als bei der Binomialverteilung ist uns jedoch der Zeitpunkt des Treffers wichtig.

Die kumulative Verteilungsfunktion kann übrigens aus der geometrischen Reihe hergeleitet werden. Es gilt
\begin{align*}
F(n)=P(X\leq n)=1-(1-p)^n.
\end{align*}