Die "Steckbriefaufgabe" ist ein besonderer Typ von Textaufgabe. Dabei ist ein Funktionsterm von einem bestimmten Typ gesucht. Gegeben sind verschiedene Eigenschaften der Funktion, etwa Symmetrieeigenschaften, Nullstellen oder Extrema.

Die Steckbriefaufgabe ist das Gegenstück zur Kurvendiskussion. Wenn du dich an die Steckbriefaufgabe heranwagst, können dir Begriffe wie Nullstelle, Ableitung, Wendepunkt, punktsymmetrische/achsensymmetrische Funktion, Minimum und Maximum begegnen. Wenn diese Begriffe in der jeweiligen Aufgabe vorkommen, solltest du mit diesen unbedingt umgehen können!

Prinzipiell kann bei der Steckbriefaufgabe jede Art von Funktion gesucht sein. Es ist aber immer im Text angegeben, welche Art gesucht wird. Am häufigsten handelt es sich um Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen), daher werden wir diese als Beispiel hernehmen.

Wenn du herausgefunden hast, um welchen Typ von Funktion es in der Aufgabe geht, solltest du zuerst die allgemeine Funktionsgleichung aufstellen. Also z.B. für eine ganzrationale Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\).

Dann musst du die gegebenen Informationen in Gleichungen umsetzen. Dafür einige Beispiele:

Der Graph von \(f\) verläuft durch den Punkt \((y, z)\) \(f(y)=z\)
\(f\) hat eine Nullstelle bei \(q\) \(f(q) = 0\)
Der Graph von \(f\) schneidet die y-Achse bei \(q\) \(f(0)=q\)
\(f\) hat eine Extremstelle bei bei \(q\) \(f'(q) = 0\)
\(f\) hat einen Wendepunkt bei \((y, z)\) \(f(y)=z\) und \(f''(y)=0\)

Sonderfälle sind die Symmetrien:
Ist \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse, dann ergibt das die Gleichung \(f(x)=f(-x)\). Bei Polynomen folgt daraus, dass nur gerade Potenzen vorkommen. (Z.B. \(f(x) = ax^2 + c\))
Ist \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung, so gilt die Gleichung \(-f(x) = f(-x)\). Bei Polynomen heißt das, dass nur ungerade Potenzen vorkommen. (Z.B. \(f(x) = ax^3 + cx\))

Vielleicht ist dir aufgefallen, dass bei manchen Gleichungen die Ableitung oder zweite Ableitung von \(f\) vorkommt. Diese musst du anhand deiner allgemeinen Funktionsgleichung berechnen, um die Gleichung aufstellen zu können. Für unser Beispiel bedeutet das:

\begin{align*} f(x) &= ax^3 + bx^2 + cx + d\\ f'(x) &= 3ax^2 + 2bx + c\\ f''(x) &= 6ax + 2b \end{align*}

Wir nehmen uns als Beispiel die folgenden Eigenschaften her:
Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
\(f\) hat an der Stelle \(4\) eine Nullstelle und die Ableitung an dieser Stelle ist \(32\).
Welches Polynom dritten Grades hat diese Eigenschaften?

Lösung

Diese Eigenschaften verwandeln wir in Gleichungen.
Aus der Punktsymmetrie folgt \(f(x) = ax^3 + cx\).
Die Nullstelle liefert uns \(f(4) = 0\).
Die letzte Gleichung ist \(f'(4)=32\).

Wir setzen noch ein: \(0=f(4) = a\cdot4^3+c\cdot4 = 64a+4c\). Für die Ableitung gilt allgemein \(f'(x) = 3ax^2+c\), und daher ist \(32 = f'(4) = 3a4^2+c = 48 a + c\).

Nun musst du ein lineares Gleichungssystem lösen. Wie das geht, steht hier: [Link]

Herauskommen sollte am Ende \(a=1\) und \(c=-16\).

Wir setzen die gefundenen Parameter in die Funktionsgleichung ein und erhalten den gesuchten Funktionsterm: \(f(x) = x^3 - 16x\)