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» Wozu brauchen wir Beweise?
» Wie funktioniert ein Beweis?

Wozu brauchen wir Beweise?

In der Schule wird im Fach Mathematik sehr viel gerechnet. Die Wissenschaft Mathematik, wie sie an der Universität gelehrt wird, ist aber noch viel mehr. Dieses Bild versucht, das zu erläutern: 

 

Skizze zum mathematischen Gebäude
Bild Skizze zum mathematischen Gebäude.svg von Wikimedia Commons, welches von Golmman erstellt wurde und unter CC BY 4.0 lizensiert ist.

Das Fundament für die Mathematik sind die Axiome. Das sind grundlegende mathematische Aussagen, die als wahr angenommen werden. Ein Beispiel dafür ist "Jede natürliche Zahl \(n\) hat genau einen Nachfolger \(n+1\)." Darauf aufbauend werden mathematische Sätze (auch Theoreme genannt) formuliert. Diese müssen bewiesen werden, um von den Mathematikern als wahr akzeptiert zu werden. Die Beweise sind also der Mörtel am Haus der Mathematik; sie halten alles zusammen.

Wie funktioniert ein Beweis?

Aufbau eines Beweises
Bild Aufbau eines Beweises.svg von Wikimedia Commons, welches von Stephan Kulla erstellt wurde und unter CC BY 3.0 lizensiert ist.

Die Kästchen stehen für Aussagen, die Pfeile für mathematische Schlussfolgerungen. Alles beginnt bei den Prämissen, den Aussagen, von denen wir ausgehen. Das können Axiome sein oder andere mathematische Sätze, die bereits bewiesen wurden. Von diesen ausgehend sind nur logische Schlussfolgerungen erlaubt, um mit einigen Zwischenschritten zur Aussage des Satzes zu kommen. Eine Folgerung kann zum Beispiel so aussehen: Wir wissen, dass die Implikation "Wenn \(A\), dann \(B\)" wahr ist. Die Aussage \(A\) gehört zu unseren Prämissen. Also ist auch \(B\) wahr, und wir können \(B\) zum Beweisen weiterer Aussagen verwenden.