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» Beispiele für Existenzbeweise

Die zwei Arten von Existenzbeweisen

Einige mathematische Sätze besagen, dass ein Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft existiert. Für diese Sätze gibt es zwei grundsätzlich verschiedene Methoden, sie zu beweisen:

1. Konstruktiver Beweis: Man gibt ein Objekt an, und zeigt, dass es die geforderten Eigenschaften hat; oder man gibt eine Methode an, um ein solches Objekt zu finden. Dadurch fügt man dem Satz die zusätzliche Information hinzu, wie ein Objekt mit den geforderten Eigenschaften aussehen kann.

2. Nicht-konstruktiver Beweis: Man zeigt mit Hilfe logischer Schlüsse (und ggf. anderer Sätze), dass ein solches Objekt existieren muss, gibt aber nicht an, wie es gefunden werden kann. Dieser Beweis kann auch als Widerspruchsbeweis geführt werden. (Angenommen, es gäbe kein Objekt mit diesen Eigenschaften, dann ...)

Beispiele für Existenzbeweise

Es sei \(f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definiert durch \(f(x) = -x^2 + 1\). Wir zeigen: \(f\) besitzt (mindestens) eine Nullstelle.

1. Variante: Konstruktiver Beweis

Um zu zeigen, dass \(f\) eine Nullstelle hat, können wir einfach eine Nullstelle angeben. Eine solche Nullstelle ist die Zahl 1. Das können wir beweisen, indem wir sie einsetzen: \(f(1) = -1^2+1 = -1+1 = 0\). Daher besitzt \(f\) mindestens eine Nullstelle.

2. Variante: Nicht-konstruktiver Beweis

Für diesen Beweis benötigen wir den Zwischenwertsatz. Dieser lautet wie folgt:

Ist eine Funktion \(f\) auf dem Intervall \([a, b]\) definiert und stetig, dann nimmt \(f\) alle Werte zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) im Intervall \([a, b]\) mindestens einmal an.

Wir suchen eine Möglichkeit, den Zwischenwertsatz anzuwenden. Dazu setzen probeweise verschiedene Werte in \(f\) ein: \begin{align*}f(0) &= 0^2 + 1 = 1 > 0 \\ f(2) &= -2^2 + 1 = -4 +1 = -3 < 0\end{align*}

Um den Zwischenwertsatz anwenden zu können, müssen wir zunächst die Voraussetzungen prüfen. Wir setzen \(a=0\) und \(b=2\). Die Funktion \(f\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert, also auch im Intervall \([0,2]\). Als Polynomfunktion ist \(f\) im ganzen Definitionsbereich stetig, also auch im Intervall \([0,2]\). Daher können wir den Zwischenwertsatz anwenden und erhalten: \(f\) nimmt jeden Wert zwischen \(f(0)=1\) und \(f(2)=-3\) im Intervall \([0,2]\) mindestens einmal an. Insbesondere hat \(f\) in diesem Intervall eine Nullstelle.