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» Direkter Beweis
» Indirekter oder Widerspruchsbeweis
» Beispiel für einen Widerspruchsbeweis

Direkter Beweis

Der direkte Beweis ist durch seine Geradlinigkeit ein intuitiver Ansatz beim Beweisen. Am Anfang stehen Axiome, bereits bewiesene mathematische Sätze und die Voraussetzungen des zu beweisenden Satzes. Dann werden logische Schlüsse gezogen, bis die Aussage des Satzes gezeigt ist. Die Schlüsse sind oft von der Form: Wir wissen, dass die Implikation "Wenn \(A\), dann \(B\)" wahr ist. Die Aussage \(A\) gehört zu unseren Prämissen. Also ist auch \(B\) wahr, und wir können \(B\) zum Beweisen weiterer Aussagen verwenden.

Ein kleines Beispiel: Wir zeigen, dass \(25\) keine Primzahl ist. (Falls du nicht weißt, was eine Primzahl ist, kannst du das hier nachlesen: [Link]) Wir wissen, dass \(5\cdot 5=25\) ist. Daher ist \(5\) ein Teiler von \(25\), und es ist \(1\neq 5\neq 25\). Also kann \(25\) keine Primzahl sein.

Indirekter oder Widerspruchsbeweis

Der Widerspruchsbeweis (oder indirekte Beweis) funktioniert grundsätzlich anders. Hier wird zunächst angenommen, dass die zu beweisende Aussage falsch sei. Durch logische Schlüsse wird dann ein Widerspruch herbeigeführt, z.B. zeigt man, dass eine der Prämissen (die ja als wahr angenommen werden) falsch ist. Da das nicht sein kann, muss die Annahme falsch und die zu beweisende Aussage wahr sein.

Auch hier ein kleines Beispiel: Wir zeigen wieder, dass \(25\) keine Primzahl ist. Angenommen, \(25\) sei doch eine Primzahl. Dann müssen \(1\) und \(25\) die einzigen Teiler von \(25\) sein. Es ist aber \(5\cdot 5=25\) ist, also ist \(5\) ein Teiler von \(25\). Widerspruch!

Beispiel für einen Widerspruchsbeweis

Als längeres Beispiel möchten wir den Satz von Euklid zeigen. Dieser besagt: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Wir nehmen an: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Nun versuchen wir, einen Widerspruch zu erzeugen.

Wenn es nur endlich viele Primzahlen \(2, 3, 5, 7, \dots\) gibt, dann können wir diese in der Menge \(P := \{p_1, \dots, p_k\}\) mit einem \(k\in\mathbb{N}\) zusammenfassen. \(P\) ist also die Menge aller Primzahlen, die es gibt!

Nun betrachten wir das Produkt aller Primzahlen und addieren 1, also \(n:=p_1\cdot \dots \cdot p_k +1\). Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik hat diese Zahl \(n\) eine Primfaktorzerlegung.

Für jede Primzahl \(p_i\in P\) gilt aber, dass \(p_i\) kein Teiler von \(n\) ist, denn bei der Division von \(n\) durch \(p_i\) bleibt der Rest 1. Ist \(q\) einer der Faktoren aus der Primfaktorzerlegung von \(n\), so ist \(q\notin P\), aber \(q\) ist eine Primzahl. Das steht im Widerspruch dazu, dass \(P\) die Menge aller Primzahlen ist.