Inhalt:
» Satz des Pythagoras
» Kathetensatz
» Höhensatz

Der Katheten- und Höhensatz beschreiben Größenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Zusammen mit dem Satz des Pythagoras bilden sie die Satzgruppe des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras gilt als einer der wichtigsten Sätze in der Geometrie. Voraussetzung dafür ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. In einer Formel für ein Dreieck mit Katheten \(a\) und \(b\) und Hypotenuse \(c\) gesprochen: \(a^2+b^2=c^2\).

Pythagoras1

Mithilfe dieser Formel kann man die dritte Länge eines Dreiecks mit Leichtigkeit ausrechnen. Schauen wir uns das an einem Beispiel an.


Gegeben seien die beiden Katheten mit den Längen a=3cm und b=4cm. Gesucht ist die Länge der Hypotenuse.

Lösung

Da die Fromel bereits nach \(c^{2}\) umgestellt ist, müssen wir lediglich die Wurzel ziehen und die Werte einsetzen.
\begin{align*}
&c&=&&\sqrt[2]{a^{2}+b^{2}} \\
&c&=&&\sqrt[2]{(3cm)^{2}+(4cm)^{2}} \\
&c&=&&\sqrt[2]{25cm^{2}} \\
&c&=&&5cm
\end{align*}


Nun sei die Hypotenuse gegeben mit \(c=6cm\) und eine Kathete \(a=2cm\). Wie berechnen wir die Länge der fehlenden Kathete \(b\)?

Lösung

Diesmal müssen wir die Gleichung nach b umstellen, bevor wir die Werte einsetzen können:
\begin{align*}
&b^{2}&=&&c^{2}-a^{2} \\
&b&=&&\sqrt[2]{c^{2}-a^{2}} \\
&b&=&&\sqrt[2]{(6cm)^{2}-(2cm)^{2}} \\
&b&=&&\sqrt[2]{32cm^{2}} \\
&b&\approx&&5,66cm \\
\end{align*}

 


Zu beachten ist, dass die Wurzel nicht summandenweise gezogen werden darf. Dieser Fehler wird leider sehr oft gemacht. Um das besser nachvollziehen zu können, sollte man sich die Wurzelgesetze nochmal anschauen.

Kathetensatz

Bedingung ist auch hier wieder ein rechtwinkliges Dreieck. Wir benötigen zusätzlich die Höhe \(h_{c}\) auf der Hypotenuse. Die Höhe teilt die Hypotenuse nochmals in zwei Strecken, die in der Regel als \(q\) und \(p\) bezeichnet werden.

Pythagoras2

Der Kathetensatz sagt aus, dass jeweils ein Kathetenquadrat gleich dem Produkt des anliegenden Hypotenusenabschnitts und der Hypotenuse selbst ist.

Die Formeln sehen demnach so aus:
\begin{align*}
a^{2}=p\cdot c \\
b^{2}=q\cdot c
\end{align*}

Schauen wir uns wieder ein Beispiel dazu an. Gegeben seien die Längen \(c=6cm\) und \(p=2cm\). Wie berechnen wir die Längen von \(a\) und \(b\)?

Lösung

Als erstes berechnen wir \(a\). Dafür müssen wir lediglich die Wurzel ziehen.
\begin{align*} a=\sqrt[2]{p\cdot c} \\
a=\sqrt[2]{2cm\cdot 8cm} \\
a=4cm \end{align*}
Für die Berechnung von \(b\) brauchen wir \(q\). Es gilt \(q=c-p=8cm-2cm=6cm\). Damit können wir nun analog vorgehen:
\begin{align*}b=\sqrt[2]{q\cdot c} \\
b=\sqrt[2]{6cm\cdot 8cm} \\
b\approx6,8cm \end{align*}

Höhensatz des Euklids

An den gerade besprochenen Kathetensatz lehnt sich der Höhensatz des Euklids an. Diesmal wird zusätzlich noch die Höhe \(h_c\) benötigt.

Pythagoras2

Der Höhensatz des Euklids sagt aus, dass das Höhenquadrat der Hypotenuse gleich dem Produkt der Hypotenusenabschnitte \(p\) und \(q\) ist.

In einer Formel ausgedrückt, sieht es wie folgt aus:

\(h_c^{2}=p\cdot q\)

Auch hier schauen wir uns wieder ein Beispiel dazu an. Gegeben seien die Länge \(p=2cm\) und die Höhe \(h_c=4cm\). Wie lang ist nun die Hypotenuse \(c\)?

Lösung

Wenn wir uns nochmal die beschriftete Grafik anschauen, sehen wir, dass \(c=q+p\) gilt. \(p\) haben wir bereits gegeben, wir müssen also nur noch \(q\) bestimmen. Das können wir mit dem Höhensatz berechnen, indem wir die Formel umstellen nach \(q\).
\begin{align*}
&&h_c^{2}&=&&p\cdot q \\
&\Longleftrightarrow&q&=&&\dfrac{h_c^{2}}{p} \\
&Einsetzen:&q&=&&\dfrac{(4cm)^{2}}{2cm}=\dfrac{16cm^{2}}{2cm}=8cm
\end{align*}


Nun müssen wir nur noch \(c\) berechnen:
\begin{align*} c=q+p=8cm+2cm=10cm \end{align*}