computational commutative algebra 2

Computational Commutative Algebra 2

M. Kreuzer, L. Robbiano
Springer Verlag, Boston, 2005, 53,45 €

ISBN 3-540-25527-3

Vorliegendes Buch ist definitiv der zweite und letzte Band der Trilogie Computational Commutative Algebra, wie die beiden Autoren am Ende der Einleitung bezeugen. Es enthält die Kapitel 4 bis 6 des Werkes sowie Anhänge zur Benutzung von CoCoA und mit Anregungen zur weiteren Lektüre.

Kapitel 4 ist dem Homogenen Fall gewidmet. Es beginnt mit Abschnitten über Homogenisierung und projektive Varietäten. Dann werden eingehend homogene Ideale, die Berechnung homogener Gröbnerbasen sowie homogene Radikalideale (mit Zugehörigkeitstest) behandelt. Weitere zentrale Themen sind minimale homogene Präsentationen und graduierte freie Auflösungen bis hin zur Berechnung von Betti-Zahlen (in Tutorial 63).

Kapitel 5 ist mit Hilbertfunktionen überschrieben. Hier wird zunächst der Nutzen von Hilbertfunktionen graduierter Moduln erläutert und dann gezeigt, wie diese berechnet werden können. Dabei wird bereits in Tutorial 69 auf die Möglichkeit Hilbert-gesteuerter Gröbnerbasenberechnung eingegangen. Daran schließen sich Verfahren zur Berechnung der Dimension und des Hilbertpolynoms graduierter Algebren an. Im zweiten Teil des Kapitels kehren die Autoren zum affinen Fall zurück. Neben Verfahren zur Bestimmung von Hilbertfunktion und Krulldimension affiner Algebren werden Algorithmen zur Berechnung des Transzendenzgrads und zur Noether-Normalisierung vorgestellt. Abschließend wird die Existenz einer Primärzerlegung in Noetherschen Ringen bewiesen (sowohl im nichthomogenen wie im homogenen Fall) und es werden Algorithmen zu deren Berechnung skizziert (in Tutorial 79).

In Kapitel 6 sind Weitere Anwendungen zusammengestellt. Hierzu gehören unter anderem Torische Ideale und Hilbertbasen, endliche Punktmengen und die Cayley-Bacherach-Eigenschaft (in Tutorial 88), Symmetriebetrachtungen und Randbasen, Filtrierungen und Tangentialkegel sowie SAGBI-Basen.

Die Stärke dieses zweiten Bandes der Computational Commutative Algebra liegt in den vielen Übungsaufgaben und den 55 gut ausgearbeiteten und zum Teil umfangreichen Tutorials, worauf schon in der obigen Inhaltsangabe hingedeutet wurde. Diese bilden eine Brücke von den theoretischen Grundlagen zu aktuellen Algorithmen und Berechnungen. Insbesondere die Tutorials sind hervorragend zum Experimentieren mit CoCoA sowie zum Selbststudium geeignet und bilden eine reichhaltige Fundgrube für Übungen und Praktika zur Computeralgebra.

Mit über 500 Seiten ist dieser zweite Band unerwartet dick geworden, wozu zum Einen der durch Zitate, Sprüche und fiktive Gespräche aufgelockerte Schreibstil und zum Anderen auch eine gelegentlich allzu große Liebe zum Detail beiträgt. Trotz des großen Umfangs sind einige der auch regelmäßig in Vorlesungen behandelten Grundaufgaben der kommutativen Algebra nicht berücksichtigt worden. Hierzu zähle ich z. B. die Berechnung des Radikals eines Ideals (auch im höherdimensionalen Fall) und der Normalisierung eines Integrit ätsbereichs. Weiter könnte man in einem so umfangreichen Werk auch noch Algorithmen zur Aufblasung oder allgemeiner zur Desingularisierung vermuten. (Letztere sind nur in Tutorial 95 kurz gestreift worden.) Vielleicht wird hiermit künftig doch noch die in der Einleitung angesprochene Trilogie komplettiert.

Rezension: B. Heinrich Matzat (Heidelberg) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 38 - März 2006