Mathematik für Ingenieure I & II
Lineare Algebra, Analysis - Theorie und Numerik
Vektoranalysis, Integraltransformationen, Differenzialgleichungen, Stochastik - Theorie und Numerik
Hoffmann, Marx, Vogt
Pearson Studium, 864 Seiten, 1. Auflage, 31,68 €
Pearson Studium, 840 Seiten, 1. Auflage, 49,95 €
ISBN: 3-827-37113-9
ISBN: 3-827-37114-7
Es folgen die Rezensionen von: Band 1 und Band 2
Lineare Algebra, Analysis - Theorie und Numerik
Beurteilung
Die Vorlesungen zur Ingenieurmathematik bilden die absolute Grundlage für ein erfolgreiches Studium der Ingenieurwissenschaften und werden in anderen Veranstaltungen als bekanntes Grundwissen oftmals vorausgesetzt. In diesem 2-bändigen Lehrwerk werden im ersten Band die drei grundlegenden mathematischen Disziplinen für den Ingenieur verständlich dargestellt: Lineare Algebra, Analysis und Numerische Methoden. Dabei wird größter Wert auf eine anschauliche und praxisnahe Erläuterung der Mathematik für Ingenieure gelegt.
Die moderne Numerik hat die Ingenieurmathematik revolutioniert und wird erstmalig im Rahmen eines einführenden Lehrbuchs dargestellt. Außerdem bietet jedes Kapitel zahlreiche Beispiele, Übungen und Anwendungen, die den Stoff ansprechend auflockern und das Gelernte in Bezug zur Praxis setzen.
Der zweite Band des Lehrbuchs zur Höheren Mathematik für Ingenieure vermittelt nicht nur solides mathematisches Grundwissen zur Vektoranalysis, zu den Integraltransformationen, zu den gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen sowie zur Stochastik, sondern behandelt auch die dahinter stehende Numerische Mathematik und führt zugleich in das Wissenschaftliche Rechnen ein. So lassen sich mittels moderner mathematischer Verfahren Naturgesetze auf dem Computer simulieren.
Die Autoren haben es sich in der Mathematikausbildung zur Aufgabe gesetzt, logisches Denken zu fördern und komplexe Zusammenhänge zu analysieren und zu verstehen.
Mit diesem Werk legen die Autoren, die über langjährige Lehrerfahrung verfügen, ein solides Fundament, um angewandte und reine Mathematik zusammenzuführen. Durchgerechnete Beispiele und zahlreiche Übungsaufgaben ermöglichen es dem Leser, das Erlernte zu prüfen und zu festigen.
Mathematik für Ingenieure eignet sich damit in idealer Weise für die Grundlagenvorlesungen zur Mathematik für Elektrotechniker, Maschinenbauer, Technische Physiker, Informatiker und Mathematiker.
Inhalt
- I Grundlagen
- Elementare Logik
(Aussagen, Aussagenverknüpfungen und Aussagenfunktionen, Boolesche Algebra und Boolesche Funktionen, Aussageformen und Quantoren, Beweistechniken, Aufgaben) - Elementare Mengenlehre
(Mengen und Elemente, Konstruktion von Mengen, Verknüpfung von Mengen, Kartesisches Produkt von Mengen, Aufgaben) - Algebra, Ordnung und Topologie der reellen Zahlen
(Induktion, Algebraische Strukturen bei den Zahlen, Ordnungsstrukturen bei den Zahlen, Verträglichkeit zwischen Algebra und Ordnung, Topologie der Zahlen, Darstellung von Zahlen im Computer, Elementare Kombinatorik, Aufgaben) - Komplexe Zahlen
(Gaußsche Zahlenebene, Körper der komplexen Zahlen, Geometrische Veranschaulichung der Operationen, Berechnung der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl, Riemannfläche - Logarithmus - Potenzgesetze und Logarithmengesetze, Die komplexe Vollebene - der Punkt z = ∞, Geometrie der komplexen Zahlen, Anwendung der komplexen Zahlen in der Elektrotechnik, Aufgaben) - Relationen und Abbildungen
(Grundlegende Definitionen, Mächtigkeit von Mengen, Beispiele von Funktionen, Umkehrfunktion einer reellen Funktion einer Veränderlichen, Die symmetrische Gruppe sM, Aufgaben)
II Lineare Algebra
- Lineare Räume
(Axiomensystem, Beispiele, Matrizen, Basis, Dimension, Affiner Raum, Unterräume, Dimensionssätze, Lineare Gleichungssysteme - Gaußalgorithmus, Matrixrang, Inverse Matrix, Koordinaten - Darstellung und Transformation, Aufgaben) - Lineare Abbildungen
(Definition, Beispiele, Grundlagen, Lösungsprinzipien linearer Gleichungen, Koordinatenmatrix einer linearen Abbildung, Transformation der Koordinatenmatrix, Lineare Funktionale im Raum X* - duale Basis, Basisdarstellung linearer Abbildungen, Basis- und Koordinatentransformation in X*, Die duale Abbildung L#, Annulatoren, Aufgaben) - Multilineare Abbildungen
(Definition, Koordinaten, Tensor, Potenzbildung und Polynome, Determinantenform und Determinante, Aufgaben) - Lineare Abbildungen in Hilberträumen
(Raum mit Skalarprodukt, QR-Zerlegung, Adjungierte Abbildungen, Selbstadjungierte Endomorphismen, Orthogonale und unitäre Abbildungen, Normale Endomorphismen, Aufgaben) - Spektralzerlegung linearer Endomorphismen
(Eigenwerte, Eigenvektoren, Hauptachsentransformation, Positive (negative) Definitheit, Spektralzerlegung normaler Endomorphismen, Analytische Funktionen normaler Endomorphismen, Vertauschbarkeit normaler Endomorphismen, Jordannormalform von Endomorphismen, Analytische Funktionen beliebiger Endomorphismen, Aufgaben) - Singulärwertzerlegung linearer Abbildungen
(Singulärwertzerlegung, Norm einer linearen Abbildung, Pseudoinverse einer linearen Abbildung, Lineare Quadratmittel-Approximation, Aufgaben)
- III Analysis
- Folgen
(Konvergenz, Rechnen mit Zahlenfolgen, Konvergenzkriterien für Zahlenfolgen, Reihen, Aufgaben) - Normierte Vektorräume
(Norm, Prähilberträume, Vollständigkeit, Aufgaben) - Stetigkeit
(Topologische Grundbegriffe, Grenzwerte von Funktionen, Stetige Funktionen, Banachscher Fixpunktsatz, Aufgaben) - Funktionenfolgen
(Gleichmäßige Konvergenz, Potenzreihen, Elementare Funktionen, Aufgaben) - Differenziation
(Die Differenzierbarkeit einer Abbildung, Partielle Ableitungen, Mittelwertsätze, Der Taylorsche Satz, Die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen, Extrema von Funktionen mehrerer Variabler, Aufgaben) - Integralrechnung in einer Variablen
(Das bestimmte Integral, Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, Integrationsregeln und Integrationstechniken, Uneigentliche Integrale, Parameterabhängige Integrale, Anwendung der Integralrechnung, Aufgaben)
IV Numerische Methoden
- Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme
(LU-Zerlegung und Gauß-Algorithmus, Pivotisierung und Pivotstrategien, Matrixinversion und Cholesky-Zerlegung, Matrixnormen, Konditionszahlen und Fehlerschätzung, Aufgaben) - Iterative Verfahren für große lineare Gleichungssysteme
(Splitting-Verfahren, Systeme mit spezieller Struktur und Relaxion, Krylov-Unterräume und Arnoldi-Verfahren, GMRES-Verfahren und BiCG-Verfahren, Aufgaben) - Approximation von Eigenwerten und Eigenvektoren
(Vektoriteration ind inverse Iteration, QR-Zerlegung und QR-Verfahren, Krylov-Unterraum-Methoden, Aufgaben) - Numerische Methoden für nichtlineare Gleichungssysteme
(Picard-Verfahren, Newton-Verfahren, Vereinfachte Newton-Verfahren, Anwendung des Newton-Verfahrens, Großdimensionale nichtlineare Systeme, Parameterabhängige nichtlineare Systeme, Numerische Kurvenverfolgung, Aufgaben) - Numerische Interpolation und Integration
(Polynom-Interpolation von Funktionen, Newton- und Hermite-Interpolation, Spline-Interpolation, Anwendung von Splines, Numerische Interpolation, Aufgaben)
- Literaturverzeichnis
- Sachregister
Vektoranalysis, Integraltransformationen, Differenzialgleichungen, Stochastik - Theorie und Numerik
Inhalt
- Teil I Vektoranalysis und Integraltransformationen
- Integralrechnung mit mehreren Variablen
(Das Riemannsche Integral im Rn, Die Variablentransformation in Integralen, Numerische Kubatur, Zusammenfassung, Aufgaben) - Kurven- und Oberflächenintegrale
(Parametrisierte Kurven und Flächen, Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale, Zusammenfassung, Aufgaben) - Integralsätze der Vektoranalysis
(Der Integralsatz von Gauß, Der Integralsatz von Stokes, Nabla-Kalkül, Quellen- und Wirbelfreiheit, Zusammenfassung, Aufgaben) - Theorie der komplexen Funktionen
(Komplexe Differentiation, Cauchy-Riemannsche Differenzialgleichungen, Komplexe Integration, Isolierte Singularitäten, Laurent-Reihen und Residuenkalkül, Zusammenfassung, Aufgaben) - Integraltransformation
(Mathematische Modellbildung, Fourier-Reihen, Fourier-Integrale, Elementare Distributionstheorie, Anwendung der Fourier-Transformation, Die Laplace-Transformation, Zusammenfassung, Aufgaben)
Teil II Gewöhnliche Differenzialgleichungen
- Gewöhnliche Differenzialgleichungen - Theorie
(Einführende Beispiele, Geometrische Interpretation einer GDL, Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Lineare DGL-Systeme 1.Ordnung, Lineare DGL-Systeme 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung, Autonome Systeme, Hilfsmittel zur Konstruktion von Phasenportraits, Stabilität und Ljapunov-Funktionen, Zusammenfassung, Aufgaben) - Numerische Methoden für Anfangswertprobleme
(Explizite Einschrittverfahren, Implizite Einschrittverfahren, Lineare Mehrschrittverfahren, Zusammenfassung, Aufgaben) - Numerische Methoden für Rand- und Eigenwertprobleme
(Problemklassen und Standardform, Schließverfahren und Mehrzielmethode, Finite Differenzverfahren und Kollokationsverfahren, Zusammenfassung, Aufgaben)
Teil III Partielle Differenzialgleichungen
- Einführung in die partiellen Differenzialgleichungen
(Grundlage und Klassifikation, Lineare Differenzialgleichungen 1.Ordnung, Quasilineare Differenzialgleichungen 1.Ordnung, Differenzialgleichungen 2.Ordnung, Trennung der Veränderlichen, Zusammenfassung, Aufgaben) - Numerik partieller Differenzialgleichungen
(Finitie-Differenzen-Methode, Finite-Elemente-Methode, Zusammenfassung, Aufgaben)
Teil IV Einführung in die Stochastik
- Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie
(Konstruktion von Maßen, Riemann-Stieltjes-Integral, Messbare Funktionen, Lebesgue-Integral messbarer Funktionen, Konvergenz f.ü. und Maßkonvergenz, Grenzwertsätze, Satz von Lebesgue, Absolut stetige Funktionen und Integration, Variablentransformation, Produktmaß, Mehrfachintegrale, Satz von Fubini, Parameterabhängigkeit von Integralen, Zusammenfassung, Aufgaben) - Wahrscheinlichkeitsrechnung
(Grundbegriffe, Zufallsvariablen und Verteilungen, Kenngrößen von Verteilungen, Wichtige Verteilungen von Zufallsgrößen, Mehrdimensionale Zufallsvariablen - Zufallsvektoren, Funktionen von Zufallsvektoren, Charakteristische Funktion, Grenzwertsätze, Zusammenfassung, Aufgaben)
- Literaturverzeichnis
- Symbolverzeichnis
- Sachregister