computational invariant theory

Computational Invariant Theory

H. Derksen, G. Kemper
Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 2002, 268 Seiten, 90,00 €

ISBN 3-540-43476-3

 

Dieses Buch behandelt Invariantentheorie, d. h. den Ring der Polynome, die unter einer Gruppe invariant sind. Wie der Titel des Buches schon sagt, liegt ein Schwerpunkt auf den algorithmischen Aspekten zur Berechnung von Erzeugendensystemen des Invariantenringes. Dadurch hebt es sich deutlich von theoretischen Büchern zu diesem Thema ab. Das Buch von B. Sturmfels von 1993 zur algorithmischen Invariantentheorie hat das Interesse an diesem Gebiet stark geprägt.

Die Themenauswahl des Buches ist gekennzeichnet durch die wissenschaftlichen Arbeiten der Autoren zu diesem Thema. Der Algorithmus zur Berechnung eines Erzeugendensystems für linear reduktive algebraische Gruppen hat die Fachwelt bei seiner Entdeckung überrascht und begeistert. Der Algorithmus basiert auf Ideen von Hilbert, für die Hilbert seinerzeit kritisiert wurde, weil sie nicht konstruktiv sind. Hundert Jahre später wissen wir es besser. Hoffentlich teilt jeder Leser meinen Enthusiasmus für diesen Algorithmus.

Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der modularen Invariantentheorie. Hierbei teilt die Charakteristik des Körpers die Gruppenordnung, was fatale Konsequenzen für die algebraischen Strukturen hat, die für Algorithmen für Körper der Charakteristik 0 verwendet werden. Gerade deshalb ist dieses Thema für Algebraiker so interessant.

Ein besonderer Vorteil dieses Buches ist das reichhaltige Kapitel über Anwendungen. Es gibt Abschnitte, die in die Grundideen und die Literatur zur Lösung von polynomiellen Gleichungssystemen, Graphentheorie, Kombinatorik, Kodierungstheorie, dynamische Systeme, Computer Vision einführen. Die potentielle Leserschaft des Buches beschränkt sich deshalb nicht nur auf Algebraiker, die auf dem Gebiet der Computeralgebra und der Invariantentheorie arbeiten, sondern sollte auch algebraisch (vor)gebildete Anwender ansprechen.

Wie die Autoren formulieren, wendet sich das Buch an Forscher im Gebiet der Geometrie, Computeralgebra und der Invariantentheorie. Es kann aber sicherlich auch für ein Seminar verwendet werden, das auf eine einführende Vorlesung zur Computeralgebra aufbaut.

Da die Algorithmen zur Berechnung von fundamentalen Invarianten Gröbnerbasen und algorithmische kommutative Algebra verwenden, behandelt das erste Kapitel dieses Thema. Schon hier kann man bewundern, wie knapp, präzise und auf den Punkt genau die Autoren formulieren. Neben einer knappen Einführung in die Standardkonzepte rund um Gröbnerbasen ist der Algorithmus von de Jong zur Normalisierung enthalten.

Insgesamt gesehen ist dies ein sehr schönes Buch. Einige der Resultate sind nie zuvor in Buchform erschienen. Der einzige Nachteil, den ich an diesem Buch finden kann, ist folgender: Ich hätte das Buch gern einige Jahre früher zum Lesen gehabt.

Rezension: Karin Gatermann (Berlin) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 34 - März 2004