Elliptic Curves
Number Theory and Cryptography
L. C. Washington
Chapman and Hall (CRC), 79,95 $
ISBN 1-584-88365-0
Eines der aktuellsten Bücher über kryptographische Anwendungen elliptischer Kurven ist das Buch I. Blake, G. Serroussi, N. Smart: Elliptic Curves in Cryptography, Cambridge Univ. Press 1999. In dessen Vorwort wird aber festgestellt: ”We try and give a flavour of the mathematics involved for those who are interested. We decided however not to include most proofs since that not only would dramatically increase the size of the book but also would not serve its main purpose.“
Das vorliegende Buch schließt diese Lücke. In den Kapiteln 1 bis 4 wird die elementare Theorie der elliptischen Kurven entwickelt. Dies beinhaltet Grundlagen, Torsionspunkte sowie elliptische Kurven über endlichen Körpern (inklusive Schoof-Algorithmus etc.)
In den darauf folgenden Kapiteln 5 und 6 werden die wesentlichen kryptographischen Algorithmen und Attacken kurz und präzise beschrieben und durch Beispiele unterlegt. (Komplexitätsaussagen werden allerdings nicht bewiesen.) Kapitel 7 enthält die auf der EC-Methode beruhenden Fundamentalalgorithmen zur Primzerlegung und Primzahlerkennung. Die tieferen für die genannten Algorithmen benötigten Resultate über elliptische Kurven, dies sind komplexe Multiplikation, Hasse- und Tate-Lichtenbaum-Paarung, Zetafunktion und Hasse-Weil-Schranke, werden in den Kapiteln 10 bis 12 bewiesen.
Daneben geht das Buch noch auf einige zahlentheoretische Fragestellungen ein, wie etwa die Gruppe der rationalen Punkte in Kapitel 8. Es werden der Satz von Mordell-Weil bewiesen und die Tate-Shafarevich-Gruppe eingeführt. Im letzten Kapitel 13 schließlich wird ein kurzer Überblick über den Beweis des fermatschen Satzes von Wiles gegeben, bei dem die Theorie der elliptischen Kurven eine tragende Rolle spielt.
Bei der vorliegenden Monographie handelt es sich also um ein Buch über elliptische Kurven mit Ausrichtung auf die Bedürfnisse der Computeralgebra. Unter den Anwendern ist es dabei vor allem für diejenigen von Interesse, die nicht nur die Algorithmen, sondern (insbesondere) auch die zugrunde liegende Theorie kennen lernen möchten. Es stellt daher eine sehr willkommene Ergänzung bzw. Grundlage für Bücher wie das eingangs erwähnte dar.
Ich halte das Buch für sehr geeignet sowohl zum (vertiefenden) Selbststudium von Kryptologen etc. als auch als Begleitlektüre für (Computeralgebra-) Vorlesungen wie elliptische Kurven mit Anwendungen.
Rezension: B. Heinrich Matzat (Heidelberg) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 35 - Oktober 2004