Algorithmische Methoden
Zahlen, Vektoren, Polynome
P. Kügler, W. Windsteiger
Birkhäuser Verlag, 2009, 160 Seiten, 18,90 €
ISBN 978-3-7643-8434-0
Das vorliegende Buch ist als einsemestrige Einführung in die algorithmische Mathematik konzipiert, gerichtet an Studierende vorwiegend des dritten Semesters. Kenntnisse über die Grundstrukturen von Analysis und linearer Algebra (speziell Zahlen, Vektoren, Polynome) werden also vorausgesetzt – eine kurze Übersicht des benötigten Stoffs findet sich gleichwohl zu Beginn des jeweiligen Kapitels – und weite Teile des Buches sind mit der Implementation dieser Strukturen und der zugehörigen Rechenoperationen auf dem Computer befasst.
Das Buch umfasst vier Kapitel. Das erste Kapitel führt die Grundbegriffe des Buches ein, auf eher informelle Weise und anhand von Beispielen, die dann in den folgenden Kapiteln wiederholt aufgegriffen werden. Bei diesen Begriffen handelt es sich einerseits um Grundkonzepte der Informatik (Schleifen, Rekursion), und andererseits um Kriterien für die Bewertung von Algorithmen, zum Beispiel (relative und absolute) Rundungsfehler, die Kondition eines Problems, Korrektheit, Stabilität (vorwärts und rückwärts), Komplexität. Die im weiteren Verlauf des Buches entwickelten Algorithmen werden anhand dieser Qualitätsmerkmale analysiert und Weiterentwicklungen daraus motiviert. Wie an den aufgezählten Kriterien zu erkennen ist, liegt der Schwerpunkt der Analyse auf numerischen Aspekten.
Die algorithmische Umsetzung wird in einem recht intuitiven Pseudocode dokumentiert. Sämtliche im Buch beschriebenen Algorithmen wurden sowohl in MATLAB als auch in Mathematica implementiert (als Vertreter vorwiegend numerischer beziehungsweise symbolischer Mathematik-Pakete); die Implementationen sind frei über das Internet verfügbar.
Kapitel 2 behandelt die algorithmische Behandlung von Zahlbereichen, von natürlichen über rationale zu den reellen Zahlen. Es werden jeweils das Problem der Darstellung dieser Zahlen im Rechner und die mittlerweile gebräuchlichen (IEEE-)Standardlösungen dafür diskutiert, gefolgt von der Implementation der Grundrechenarten. Dabei werden neben den naheliegenden auch effizientere Lösungen präsentiert (etwa: der Karatsuba-Algorithmus zur Multiplikation ganzer Zahlen oder Henrici-Algorithmen für die Addition und Multiplikation in 
Kapitel 3 ist mit der Übertragung der Grundrechenarten auf Vektoren – genauer, Elementen von 
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Die Autoren sind sichtlich um eine lebendige und problemorientierte Darstellung ihres Stoffes bemüht. Der Großteil der im ersten Kapitel entwickelten Kriterien beschäftigt sich mit dem Grundproblem der numerischen Mathematik, nämlich der approximativen Behandlung (potenziell) unendlicher mathematischer Objekte mit endlichen Speicherplatz- und Zeitressourcen. Die Darstellung in diesem Kapitel springt zeitweise munter zwischen algorithmischen Konzepten (Schleifen, Rekursion, etc.), numerischen Begriffen (Fehlerabschätzungen, Maschinengenauigkeit) und mathematischen Sätzen, was zumindest beim Rezensenten eine gewisse Desorientierung zur Folge hatte.
Das Bemühen, die nötigen Begriffe anhand möglichst konkreter Beispiele einzuführen, ist hier erkennbar und an einigen Stellen auch durchaus erfolgreich. Zumindest im ersten Kapitel aber scheint mir dies durch einen Mangel an Struktur und Kohärenz (zu) teuer erkauft. Eine weitere in meinen Augen problematische strukturelle Entscheidung der Autoren betrifft die Darstellung der reellen Zahlen im Computer, die erst im zweiten Kapitel ausführlich behandelt wird. Viele der in Kapitel 1 entwickelten numerischen Begriffe lassen sich aber meines Erachtens wesentlich präziser beschreiben und motivieren, wenn man explizit auf diese Darstellung verweisen kann; zudem wäre der Leser dann bereits hinreichend für die zugrundeliegende Problematik sensibilisiert.
Rezension: Hartmut Führ, Aachen aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 45 - Oktober 2009