Hier der dritte Teil des Weihnachtsrätsels.

Aufgabe 1

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich nicht in der Form \(x^2+2y^2+5z^2+5w^2\) mit ganzen Zahlen x,y,z,w darstellen läßt.

Aufgabe 2

Die Eulersche Phi-Funktion φ(n) einer natürlichen Zahl n ist die Anzahl aller zu n teilerfremden natürlichen Zahlen, die kleiner als n sind. Zum Beispiel ist φ(p)=p-1 für eine Primzahl p, allgemeiner φ(p^k)=p^k-1(p-1) falls p eine Primzahl und k eine natürliche Zahl ist, und es ist φ(mn)=φ(m)φ(n) falls m,n teilerfremd sind. Man finde alle Lösungen von \(\phi(\phi(n))=22\)

Aufgabe 3

Sei G die 4-elementige Gruppe \(\left\{1,a,b,c\right\}\) mit 1 als neutralem Element und den Verknüpfungen \(ab=ba=c,ac=ca=b, bc=cb=a^2=1, b^2=c^2=a\). Sei GL(2,R) die Gruppe der invertierbaren 2x2-Matrizen. Finde einen Homomorphismus \(G\to GL(2,R)\), der nicht alle \(g\in G \) auf die Einheitsmatrix abbildet. Lösungen können an Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein! geschickt werden (Kommentare zu diesem Artikel sind ausgeschaltet), weitere Erläuterungen hier.