Inhalt
» Die Implikation
» Die Kontraposition
» Ein Beispiel
Die Implikation
Die Verwendung der Kontraposition ist eine Möglichkeit, um eine Implikation zu beweisen.
Seien \(A\) und \(B\) Aussagen. Eine Implikation ist eine Aussage der Form "Wenn \(A\), dann \(B\)" oder in Zeichen \(A\Rightarrow B\).
Achtung! Hier wird nichts darüber ausgesagt, ob \(A\) wahr ist oder ob \(B\) wahr ist. Es geht nur um den Zusammenhang zwischen \(A\) und \(B\). Also: Falls \(A\) wahr sein sollte, dann würde daraus folgen, dass auch \(B\) wahr ist.
Die Kontraposition
Die Kontraposition zur Implikation "Wenn \(A\), dann \(B\)" ist die Aussage "Wenn nicht \(B\), dann nicht \(A\)". Beide sind logisch äquvialent, was man an dieser Wahrheitswerttabelle sehen kann:
| A | B | \(\lnot A\) | \(\lnot B\) | \(A\Rightarrow B\) | \(\lnot B \Rightarrow \lnot A\) |
| W | W | F | F | W | W |
| W | F | F | W | F | F |
| F | W | W | F | W | W |
| F | F | W | W | W | W |
Wenn die Behauptung eines Satzes eine Implikation ist, dann kann man stattdessen auch die Kontraposition zeigen, was manchmal einfacher ist.
Ein Beispiel
Sei \(a\) eine natürliche Zahl. Wir möchten folgende Implikation zeigen: Wenn \(a^2\) ungerade ist, ist auch \(a\) ungerade.
Die Kontraposition der Behauptung formulieren
Die Kontraposition "Wenn nicht \(B\), dann nicht \(A\)" ist somit "Wenn \(a\) nicht ungerade ist, ist auch \(a^2\) nicht ungerade". Das können wir noch umformulieren zu "Wenn \(a\) gerade ist, ist auch \(a^2\) gerade".