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» Weitere Beispiele

Reihen

Hat man eine reelle Zahlenfolge \((a_n)\) mit \begin{align*} (a_0, a_1, a_2, a_3, \dots ) \end{align*} so kürzen wir mit \(s_n\) die (endliche) Summe \begin{align*} a_0+a_1+a_2+a_3+\dots +a_n \end{align*} ab.

Unter der Reihe \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \dots\) verstehen wir die Folge der Summen \(s_0, s_1, s_2, \dots\). Weil bei jeder dieser Summen nur ein Teil der Summanden der Reihe beachtet wird, heißen diese Summen auch Partialsummen.

Spezielle Reihen

Hat man im speziellen eine arithmetische oder geometrische Folge, so gilt für die dazugehörige Reihe

  • Für die Partialsummen der arithmetischen Reihe gilt \(s_n=a_0+\dots +a_n=\frac{n+1}{2}(a_0+a_n)\).
  • Für die Partialsummen der geometrischen Reihe gilt \(s_n=g_0+\dots +g_n=g_0\cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\). Dabei muss \(q\neq 1\) gelten.

Für die Partialsummen der geometrischen Reihe mit \(q=1\) gilt natürlich \(s_n=n\), da es sich bei \((g_0, g_1, g_2, \dots ) = (1, 1, 1, \dots)\) um eine konstante Folge handelt.

Eine Sonderrolle hat die geometrische Reihe inne mit \(-1<q<1\) (oft geschrieben als \(|q|<1\)). Das folgende Beispiel soll die Situation für \(q=\frac{1}{2}\) ausführen mit Startwert \(g_0=1\). Wir erhalten also die Folge \begin{align*}
& g_0=1,\\
& g_n=1\cdot (\frac{1}{2})^n=(\frac{1}{2})^n
\end{align*} und ausgeschrieben \begin{align*}
(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots ).
\end{align*}
Visualisieren wir diese Situation an einigen (unendlich vielen) Blättern Papier

Visualisierung der geometrischen Reihe anhand eines Papierstapels

Wir nehmen zu einem Blatt Papier ein halbes (gefaltetes) dazu, anschließend nur noch ein viertel (zwei mal Falten), ein achtel und so weiter. Intuitiv sind wir uns einig, dass die unendliche geometrische Reihe \begin{align*}
s_\infty =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots
\end{align*} endlich bleibt mit Wert 2 (Blatt Papier). Dies lässt sich nun verallgemeinern

Für den Wert einer unendlichen geometrischen Reihe mit \(|q|<1\) gilt
\begin{align*}
s_\infty=g_0+g_1+g_2+g_3+\dots =\frac{1}{1-q}
\end{align*}
 
Das Summenzeichen

Die umständliche Schreibweise von zum Beispiel \(s_n=a_0+a_1+\dots a_n\) führt uns ganz natürlich zum Summenzeichen \(\sum\).

Wir definieren die Summe der ersten \(n\) Glieder einer Folge mit Hilfe des Summenzeichens wie folgt
\begin{align*}
\sum_{i=0}^n a_i=a_0+a_1+\dots a_n.
\end{align*}
Dabei ist \(i\) der sogenannte Summationsindex. Analog schreiben wir für die unendliche Summe
\begin{align*}
\sum_{i=0}^\infty a_i=a_0+a_1+\dots
\end{align*}

Das Summenzeichen wirkt auf den ersten Blick umständlicher als \(s_n\) und \(s_\infty\). In den Beispielen werden wir jedoch einige praktische Anwendungen sehen. Generell tritt es in allen Bereichen der Mathematik auf, so auch zum Beispiel in der Statistik. Das Summenzeichen funktioniert auch für Terme ohne zuvor eine Folge zu definieren. Wir schreiben zum Beispiel
\begin{align*}
\sum_{n=0}^8 (2n+1) = 1+3+\cdots+17 = \frac{8}{2}(1+17) = 72
\end{align*}
für die Summe der ersten neun ungeraden Zahlen. Die folgenden Beispiele sind jedoch so formuliert, dass sie ohne das Summenzeichen bearbeitet werden können.

Weitere Beispiele
Lösung unserer Papierüberlegung:

Mit Hilfe der Formel für die unendliche Reihe können wir nun unsere Papieraufgabe weiter analysieren. Wir wissen bereits unsere Folge

\begin{align*}
& g_0=1,\\
& g_n=1\cdot (\frac{1}{2})^n=(\frac{1}{2})^n
\end{align*}
mit \(q=\frac{1}{2}<1\). Die unendliche Summe
\begin{align*}
s_\infty =\sum_{i=0}^\infty g_i=\sum_{i=0}^\infty (\frac{1}{2})^i=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.
\end{align*}
Wir sehen also, dass unsere intuitive Lösung 2 (Blatt Papier) tatsächlich richtig war.

Einlage in einer Bank:

Eine Schülerin legt jährlich 100 Euro ihres Geburtstagsgeldes auf ein Sparbuch. Dieses ist mit 3 Prozent Zinseszinsen jährlich verzinst. Welchen Wert hat das Sparbuch nach 10 Jahren?

Lösung:

Wir beginnen mit einer Übersicht

Jahr Betrag
\(0\) \(100\)
\(1\) \(100\cdot 1,03+100\)
\(2\) \((100\cdot 1,03+100)\cdot 1,03+100=100\cdot 1,03^2+100\cdot 1,03+100\)
  wir schließen daraus
\(10\) \(100\cdot 1,03^{10}+100\cdot 1,03^9+\dots +100\cdot 1,03+100\)

Wir erkennen eine geometrische Reihe mit zu Grunde liegender Folge
\begin{align*}
& g_0=100\\
& g_n=100\cdot 1,03^n\\
& s_n=100+100\cdot 1,03+100\cdot 1,03^2+\dots +100\cdot 1,03^n
\end{align*}
und die Lösung der Aufgabe ist \(s_{10}=\frac{1-1,03^{11}}{1-1,03}=1146,39\) Euro.

Pyramidentraining:

Im Pyramidentraining beginnen Sportler/innen eine Übung (zum Beispiel Liegestütze) mit Pausen zuerst einmal, dann zweimal, aufsteigend bis zu \(n\) mal zu wiederholen und im Anschluss daran absteigend von \(n-1\) mal bis zurück zu einmal.
Jemandem fällt auf, dass es so wirkt, als würde man insgesamt \(n^2\) Wiederholungen durchführen. Stimmt diese Vermutung?

Lösung:

Wir haben offensichtlich die einfache arithmetische Folge mit \(a_0=0\) und \(d=1\). Wir betrachten zunächst die Pyramide für kleine \(n\)
\begin{align*}
& 1 & =1=1^2\\
& 1\quad 2 \quad 1 & =4=2^2\\
& 1\quad 2 \quad 3 \quad 2 \quad 1& =9=3^2\\
\end{align*}
und es stellt sich die Frage ob auch
\begin{align*}
& 1\quad 2 \quad 3 \dots (n-1) \quad n \quad (n-1) \quad \dots \quad 2 \quad 1& =n^2?\\
\end{align*}
gilt. Wir können die Summe \(1+ 2 + 3 + \dots + n + (n-1) \dots + 2 + 1\) wie folgt mit Reihen darstellen
\begin{align*}
\underbrace{1+ 2 + 3 + \dots + n}_{=s_n} + \underbrace{ (n-1) \dots + 2 + 1}_{=s_{n-1}}.
\end{align*}
Nun gilt aber
\begin{align*}
s_n+s_{n-1}=\frac{n+1}{2}(0+n)+\frac{(n-1)+1}{2}(0+(n-1))=n^2
\end{align*}
und unsere Vermutung ist bestätigt.