Inhalt
» Wachstum einer Folge
» Beschränktheit einer Folge
» Grenzwert einer Folge
» Beispiel Medikamentenzufuhr

Im Abschnitt Folgen haben wir einen Forstbetrieb beachtet der zum Jahr 2008 60000 ha Wald hat, welcher um jährlich 5 Prozent wächst aber bei dem zusätzlich auch 3500 ha abgeholzt werden. Natürlich interessiert uns nicht nur die darunter liegende Folge \(a_n\) mit
\begin{align*}
& a_0=60000 \\
& a_n=1,05\cdot a_{n-1}-3500
\end{align*}
sondern auch das sogenannte Langzeitverhalten der Folge. Durch Betrachten einiger Folgenglieder sehen wir, dass diese Art zu wirtschaften nicht nachhaltig ist:

 

\(n\) \(a_n\)
0 60000
1 59500
2 58975
... ...
8 55225,4
... ...
18 47079,8

 

Schrumpft der Bestand weiterhin? Stirbt der Wald komplett aus? Oder ist die Fläche nach unten hin beschränkt? Für die Beantwortung dieser und anderer Fragen benötigen wir einige neue Begriffe.

Wachstum einer Folge

Eine Folge \((a_n)\) ist monoton wachsend wenn jedes Glied \(a_n\) größer ist als das vorige Glied \(a_{n-1}\). Wir formulieren diese und analoge Aussagen im folgenden formal.

Eine Folge \((a_n)\) ist monoton wachsend, wenn für alle \(a_n\) und \(a_{n-1}\) gilt, \(a_n\geq a_{n-1}\).
Analog ist eine Folge \((a_n)\) monoton fallend, wenn für alle \(a_n\) und \(a_{n-1}\) gilt, \(a_n\leq a_{n-1}\).
Eine Folge \((a_n)\) ist konstant, wenn für alle \(a_n\) und \(a_{n-1}\) gilt, \(a_n = a_{n-1}\).
Gilt in obigen Definitionen sogar \(<\) oder \(>\), nennen wir die Folgen streng monoton steigend/fallend.
Wechseln die Glieder der Folge ihr Vorzeichen ab, so nennen wir sie alternierend.
Beschränktheit von Folgen
Eine reelle Zahl \(S_o\) heißt obere Schranke, wenn für jedes Folgenglied \(a_n<s_o\) gilt. Wir nennen die Folge dann nach oben beschränkt.
Eine reelle Zahl \(S_u\) heißt untere Schranke, wenn für jedes Folgenglied \(a_n>S_u\) gilt. Wir nennen die Folge dann nach unten beschränkt.
Besitzt eine Folge sowohl obere als auch untere Schranke, so nennen wir sie beschränkt.

Die letzte Definition hilft uns beim Langzeitverhalten der Folge in unserem Beispiel Forstbetrieb. Wir betrachten die geometrische Folge
\begin{align*}
& a_0=2 \\
& a_n=2\cdot (-\frac{1}{2})^n=2(-1)^n(\frac{1}{2})^n.
\end{align*}
und ihre Folgenglieder
\begin{align*}
(2,-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{8},-\frac{1}{16},\dots ).
\end{align*}
Offensichtlich nähert sich die Folge der 0 von beiden Seiten alternierend an. Nun versuchen wir diese anschauliche Erklärung mathematisch zu formulieren. Dazu zeichnen wir zuerst die Folge

epsilondelta

Mathematiker/innen stellen sich nun eine Art Schlauch um die 0 vor. Dann überlegt man sich, wann die Folge im Schlauch ankommt und ihn nicht mehr verlässt. Je nachdem wie groß der Schlauch gewählt wird, geschieht dies natürlich früher oder später.

epsilondelta2

Gibt es jedoch für jede Schlauchgröße ein \(n\in\mathbb{N}\), so dass ab dann alle Folgenglieder \(a_n\), \(a_{n+1},\dots \) im Schlauch um einen Wert \(a\) sind - in unserem Beispiel war das die 0 - sagen wir, die Folge \(a_n\) konvergiert gegen \(a\). Bevor wir uns die mathematische Definition anschauen, blicken wir noch einmal auf ein weiteres geometrisches Beispiel:

epsilondelta21

epsilondelta22

Wir sehen nach einigem hoch und runter, dass die Folge letztendlich wieder in einem Schlauch ankommt. Wählen wir den Schlauch relativ groß, Schlauchbreite 1, so findet sich die Folge früher ein, ab \(N=7\) als im kleineren Schlauch mit Breite 0,4, hier ab \(N=11\). Im Langzeitverhalten landet die Folge jedoch in beiden Schläuchen. Dem ist auch wirklich so, der sogenannte Grenzwert \(a\) der Folge ist, so werden wir später zeigen, \(\frac{10}{3}\). Der Schlauch wird mathematisch \(\epsilon\)-Umgebung des Grenzwertes \(a\) genannt.

Gibt es für jede (noch so kleine) \(\epsilon\)-Umgebung um den Wert \(a\) ein \(N\), sodass alle Folgenglieder ab \(a_N\) dann in der Umgebung liegen, so nennen wir \(a\) den Grenzwert der Folge. In Formel geschrieben existiert ein \(N\in\mathbb{N}\), so dass für alle \(a_n\) mit \(n>N\) gilt \(|a_n-a|<\epsilon\).
Wir sagen dann, die Folge konvergiert gegen den Grenzwert \(a\) und schreiben mathematisch \(\lim_{n\to\infty} a_n=a\). Eine Folge, die nicht konvergiert, nennen wir divergent.

Umgangssprachlich könnten wir sagen, ab einem gewissen Zeitpunkt (\(N\)) liegen alle Folgenglieder \(a_n\) in einem Schlauch (\(\epsilon\)-Umgebung) um \(a\), dem Grenzwert. Dabei ist \(N\) abhängig vom Schlauch und nicht umgekehrt. Daher schreibt man auch \(N(\epsilon )\) oder \(N_\epsilon\). Im vorigen Beispiel war also \(N_1=7\) und \(N_{0.4}=11\). Mit dieser recht abstrakten Definition ermöglicht es die Mathematik mit dem Begriff der Unendlichkeit \(\infty\) zu arbeiten ohne \(\infty\) als Zahl zu verwenden. Oft hilft es aber, sich vorzustellen, eine sehr große Zahl (\(\infty\)) einzusetzen um ein Gefühl für den Term zu erhalten, so auch im folgenden, wo wir sehen werden, dass obig visualisierte Folge tatsächlich gegen \(\frac{10}{3}\) konvergiert.

Es handelte sich um die explizite Folge
\begin{align*}
a_n=\frac{10n^2+5n}{3n^2-22}
\end{align*}
die wir auch anders schreiben können
\begin{align*}
\frac{n^2(10+\frac{5}{n})}{n^2(3-\frac{22}{n^2})}=\frac{10+\frac{5}{n}}{3-\frac{22}{n^2}}.
\end{align*}
Nun sagt uns aber unsere Intuition, dass für die Terme
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0 \qquad \text{ und }\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0
\end{align*}
gilt.

epsilondelta3

Daraus kann man folgern, dass
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \frac{10+\frac{5}{n}}{3-\frac{22}{n^2}} =
\lim_{n\to\infty} \frac{10+\overbrace{\frac{5}{n}}^{\to 0}}{3-\underbrace{\frac{22}{n^2}}_{\to 0}}=\frac{10}{3}
\end{align*}


folgt. Intuitiv haben wir dabei einige der folgenden Regeln angewandt:

Sind die Folgen \(a_n\) und \(b_n\) konvergent mit \(\lim_{n\to\infty}a_n=a\) und \(\lim_{n\to\infty}b_n=b\) dann gelten folgende Rechenregeln
\(\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b\)
\(\lim_{n\to\infty}(a_n \cdot b_n)=a\cdot b\)
\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n }{b_n}=\frac{a}{b}\)

wobei im letzten Fall \(b_n,b\neq 0\) gelten muss.

Unsere neuen Techniken wollen wir nun auf die uns bekannten algebraischen und geometrischen Folgen los lassen. Ihr könnt diese allgemeinen Analysen an selbstgewählten Beispielen einmal überprüfen.

Die arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge
\begin{align*}
a_n=a_0+n\cdot d\\
a_n=a_{n-1}+d
\end{align*}
ist streng monoton fallend, steigend oder konstant. Dies hängt naheliegenderweise von \(d\) ab. Ist \(d\) positiv gilt
\begin{align*}
a_n=a_{n-1}+d>a_{n-1}
\end{align*}
da \(d>0\) und die Folge ist streng monoton steigend, die anderen zwei Fälle sind analog. Die Folge ist je nachdem ob sie fallend oder steigend ist, von oben oder unten beschränkt. Ihre größte untere Schranke beziehungsweise die größte obere Schranke ist dann das erste Folgenglied \(a_0\). Eine arithmetische Folge steigt oder fällt so stark, dass sie keinen Grenzwert \(a\) hat, da sie, grob gesagt, jeden Schlauch verlassen wird. Sie ist divergent gegen \(\infty\).

Die geometrische Folge

Eine geometrische Folge
\begin{align*}
g_n=g_0\cdot q^n \\
g_n=g_{n-1}\cdot q
\end{align*}
hat unterschiedliche Fälle in Abhängigkeit von \(q\) und \(g_0>0\). Sei nun \(g_0\) positiv. Für \(q>1\) ist die Folge streng monoton steigend denn es gilt
\begin{align*}
g_n=g_{n-1}\cdot q>g_{n-1}
\end{align*}
da \(q>1\). Sie hat keinen Grenzwert und ist divergent gegen \(\infty\). Für \(q=1\) ist die Folge konstant \(g_0\). Für \(0<q<1\) ist die  Folge analog zu eben streng monoton fallend. Für \(q=0\) ist die Folge konstant Null. Für \(-1<q<0\) ist die Folge alternierend.  Wie für \(0<q<1\) hat die Folge als Grenzwert 0. Für \(q=-1\) ist die Folge alternierend mit den Werten \(\pm a_0\) und für \(q<-1\) ist die Folge analog zu \(q>1\) divergent nur diesmal auch alternierend.

Beispiel Medikamentenzufuhr

Eine Person muss mit der Einnahme eines Medikaments beginnen und wiederholt die Einnahme täglich. Sie führt dem Körper dabei jeweils 100 \(\mu g\) eines Wirkstoffs zu. Innerhalb von 24 Stunden baut der Körper \(60\%\) des Wirkstoffes ab. Untersuchen Sie das Langzeitverhalten der Folge.

Lösung

Ähnlich zum Forstbeispiel können wir die Folge rekursiv aufstellen durch
\begin{align*}
& a_0=100\\
& a_n=0,6\cdot a_{n-1}+100.
\end{align*}
Zu Beginn erstellen wir eine Tabelle.

 

\(n\) \(a_n\)
0 100
1 160
2 196
... ...
10 249,093
... ...
14 249,882

 

Wir sehen, dass die Folge monoton wächst und das sie vermutlich als Grenzwert 250 Mikrogramm hat. Aus \(a_n=0,6\cdot a_{n-1}+100\) folgt

\begin{align*}
a_n-a_{n-1}&=0,6\cdot a_{n-1}+100-a_{n-1}\\&=100-0,4 a_{n-1}\\&>0 \text{ für }a_{n-1}<250.
\end{align*}
Wir wissen also, dass unsere Folge zumindest zu Beginn, solange sie kleiner als 250 ist, monoton steigt, da \(a_n\) größer als \(a_{n-1}\) ist. Die Beschränktheit und als Grenzwert \(a=250\) zu zeigen ist jedoch komplizierter. Wir schreiben daher unsere Daten noch einmal anders:

\(n\) \(a_n\)
0 \(100\)
1 \(100\cdot 0,6+100\)
2 \((100\cdot 0,6+100)\cdot 0,6+100\\\)
wir schließen daraus \(=100\cdot 0,6^2+100\cdot 0,6+100\)
n \(100\cdot 0,6^{n}+100\cdot 0,6^{n-1}+\dots\\\dots +100\cdot 0,6+100\)

 

Wir können also über die geometrische Reihe eine explizite Darstellung unserer Folge \(a_n\) finden, nämlich
\begin{align*}
a_n&=a_0\cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\&=100\cdot \frac{1-0,6^{n+1}}{1-0,6}\\&=250\cdot (1-0,6^{n+1}).
\end{align*}

 


Nun ist die Beschränktheit und die Konvergenz ein Kinderspiel, denn
\begin{align*}
a_n=250\cdot (1-0,6^{n+1})<250
\end{align*}
und
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}a_n&=\lim_{n\to\infty}250\cdot(1-0,6^{n+1})\\&=\lim_{n\to\infty}250\cdot(1-\underbrace{0,6^{n+1}}_{\to 0})\\&=250
\end{align*}