Inhalt:
» Definitionen
» Dreiecksarten
» Konstruktion der Dreiecke

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei miteinander verbundenen Punkten besteht. Auf diese Figur treffen wir überall im Alltag. Es gibt unterschiedliche Dreiecksarten, diverse Eigenschaften und Besonderheiten, die einem sehr oft nützlich sein können. Daher ist es wichtig und erleichtert einem viel Arbeit, wenn man sich damit vertraut macht. Bevor wir allerdings auf sämtliche Merkmale eingehen können, schauen wir uns einige Konstruktionen im Dreieck an.

Definitionen

Die Punkte und Strecken, die ein Dreieck bilden, werden üblicherweise entgegen des Uhrzeigersinns beschriftet. In unserem Beispiel haben wir daher das Dreieck \(\triangle{ABC}\).

Dreieck1

Die von den Punkten gegenüberliegenden Seiten werden dementsprechend mit dem dazugehörigen Kleinbuchstaben beschriftet. Die Winkel analog zu den Punkten mit Buchstaben aus dem griechischen Alphabet. Der Winkel \(BAC\) wird also mit \(\alpha\) gekennzeichnet.

In einem Dreieck lassen sich vier Geraden zeichnen, die pro Seite bzw. Winkel einmal vorkommen können.

Höhengerade
Auf der jeweiligen Seite des Dreiecks steht sie senkrecht und verläuft durch den gegenüberliegenden Punkt. Dieser Punkt ist die weiteste Entfernung zu der Seite im Dreieck. Daher gibt diese Gerade an, "wie hoch" unser Dreieck ist.

Dreieck2

Um die Höhengerade auf einer gewählten Seite zu konstruieren, müssen wir einen Kreis um einen Eckpunkt zeichnen, der die gegenüberliegende Seite zweimal schneidet. Sollte die Seite zu kurz sein, wird sie als Hilfslinie verlängert. Durch die Schnittpunkte werden dann zwei gleich große Kreise gezogen, so dass sich beide Kreise schneiden. Die Höhengerade verläuft dann durch die zwei neuen Schnittpunkte.

Dreieck3_1Dreieck3_2Dreieck3_3

Mittelsenkrechte
Diese Gerade ist wortwörtlich eine senkrechte Gerade, die sich mittig auf einer Seite befindet. Um den Mittelpunkt einer Seite zu finden, ist sie also sehr hilfreich.

Dreieck4

Kommen wir zur Konstruktion. Um beide Punkte der Seite, auf der wir die Mittelsenkrechte kontruieren wollen, wird ein Kreis gezogen. Der Radius sollte groß genug sein, damit sich beide Kreise zweimal schneiden. Durch diese Schnittpunkte wird dann unsere Gerade gezogen.

Dreieck5_1Dreieck5_2

Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierende ist eine Kombination aus den beiden vorherigen Geraden. Sie verläuft durch einen Eckpunkt und durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Alle Seitenhalbierenden in einem Dreieck treffen sich in einem Punkt, welcher Schwerpunkt genannt wird.

Dreieck6

Um eine Seitenhalbierende einzuzeichnen, konstruiert man sich zunächst die Mittelsenkrechte. Diese markiert uns den Mittelpunkt auf der Seite. Nun müssen wir lediglich eine Gerade zwischen dem Mittelpunkt und dem gegenüberliegenden Punkt zeichnen.

Dreieck7_1Dreieck7_2

Umkreis und Inkreis
Zeichnet man alle Mittelsenkrechten, schneiden sie sich in einem Punkt. Dieser bildet den Mittelpunkt des Umkreises, d.h. alle Punkte haben die gleiche Entfernung zu diesem Mittelpunkt, so dass man einen Kreis durch alle ziehen kann.

Dreieck8

Mithilfe der Winkelhalbierenden kann man den Mittelpunkt des Inkreis bestimmen. Dieser berührt jede Seite, schneidet sie aber nicht.

Dreieck9

Innenwinkelsumme
Addiert man alle drei Winkel in einem Dreieck, so ergeben sie immer 180°. Wieso ist das der Fall? Zeichnen wir uns zu einer Seite eine Parallele, die durch den gegenüberliegenden Punkt verläuft

Dreieck10

Nun können wir uns die Eigenschaft von Wechselwinkel zunutze machen. Somit stimmen die jeweiligen Winkelpaare überein und zusammen bilden sie 180°.

Flächeninhalt
Mit der folgenden Formel lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen. Dafür schauen wir uns eine beliebige Seite des Dreiecks an (Im Bild haben wir die Seite c gewählt.). Wir benötigen als erstes die Länge der Höhe auf dieser Seite. Dies ist die Strecke auf der Höhengeraden, die durch die gewählte Seite und den gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks begrenzt wird. Zudem brauchen wir die Länge der dazugehörigen Seite.
\begin{align*} A_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_{c}\end{align*}

Dreiecksarten

Es gibt unendlich viele verschiedene Dreiecke. Mithilfe der Größe der Winkel und der Seitenlänge können wir die meisten von ihnen kategorisieren. Für jede Dreiecksart gibt es zusätzliche Möglichkeiten den Flächeninhalt oder den Umfang zu berechnen. Dreiecke, die in keine der folgenden Kategorien fallen, werden als unregelmäßige Dreiecke bezeichnet.

Gleichschenkliges Dreieck
Wie wir bei den Winkeln schon gelernt haben, werden die Strecken, die einen Winkel einschließen, Schenkel genannt. Beim gleichschenkligen Dreieck ist dies ebenso der Fall. Die Voraussetzung hier ist also, dass zwei Seiten des Dreiecks gleich lang sein müssen. Diese beiden Seiten werden dann Schenkel genannt, die dritte Seite wird als Basis bezeichnet. Der Punkt gegenüber der Basis heißt Spitze. Die Winkel an der Basis sind Basiswinkel. Da die Schenkel gleich lang sind, sind auch die Basiswinkel gleich groß

Dreieck11

Auf dem Bild lässt sich auch erkennen, dass die Höhe, die Mittelsenkrechte, Seiten- sowie Winkelhalbierenden der Basis bzw. der Spitze übereinstimmen. Einer der Gründe ist die Achsensymmetrie zur Mittelsenkrechten der Basis. Daher sind die eben genannten Strecken auf den Schenkeln des Dreiecks jeweils gleich lang.

Dreieck12

Zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang. Darum brauchen wir für die Berechnung des Umfangs lediglich zwei Größen.
\begin{align*}U=2 \cdot a + c\end{align*}

Gleichseitiges Dreieck
Auch hier verrät der Name die Eigenschaft: Alle drei Seiten müssen gleich lang sein. Daraus folgt auch, dass alle drei Winkel gleich groß sein müssen. Wegen der Innenwinkelsumme beträgt jeder Winkel also 60°. Während wir bei dem gleichschenkligen Dreieck eine Symmetrieachse haben, haben wir nun drei - eine auf jeder Seite. Insgesamt schneiden sich also sämtliche Geraden in einem Punkt. Der Umkreis und Inkreis haben daher den gleichen Mittelpunkt.

Dreieck13

Alle Seiten sind gleich lang. Für den Umfang braucht man daher lediglich eine Seitenlänge:
\begin{align*}U=3\cdot a\end{align*}
Verwendet man den Satz des Pythagoras, so vereinfacht sich die Formel des Flächeninhaltes wie folgt:
\begin{align*}A=\dfrac{a^{2}}{4}\sqrt[2]{3}\end{align*}

Rechtwinkliges Dreieck
In einem solchen Dreieck steht ein Innenwinkel rechtwinklig, ist also 90° groß. Diese Eigenschaft, ermöglicht einem viele Vorteile. Zudem gelten in dieser Dreieckskategorie der Satz des  Pythagoras und Satz des Thales.

Dreieck14

Die beiden Schenkel des rechten Winkels werden Katheten genannt, die gegenüberliegende Seite Hypotenuse. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite des Dreiecks. Bezüglich eines Winkels nennt man die gegenüberliegende Seite Gegenkathete und die anliegende Seite Ankathete. Aufgrund des rechten Winkels sind beide Katheten jeweils die Höhen zueinander. Um den Flächeninhalt zu bestimmen muss man also keine Höhe bestimmen.
\begin{align*}A=\dfrac{a\cdot b}{2}\end{align*}
Angenommen, einem fehlt die Länge der Hypotenuse. Wie kann man diese berechnen? Wenn beide Katheten gegeben sind, bietet sich der Satz des  Pythagoras an. Wenn eine Kathete gegeben ist und ein weiterer Winkel, so kann man den Sinus oder Kosinus verwenden.

Konstruktion der Dreiecke

Zur Konstruktion von Dreiecken benötigen wir ein Lineal und einen Zirkel. Für ein rechtwinkliges Dreieck wird zunächst eine der Katheten mit dem Lineal gezeichnet. Die Beschriftung der Seiten erfolgt gegen den Uhrzeigersinn. Wenn die zweite Kathete also die darauffolgenden Buchstaben hat, wird sie rechts von der ersten Kathete in einem rechten Winkel abgetragen, sonst auf der anderen Seite. Zum Schluss muss man die Hypotenuse einzeichnen, indem man die beiden Katheten miteinander verbindet.

Dreieck15_1Dreieck15_2Dreieck15_3Dreieck15_3

Ein gleichschenkliges sowie ein gleichseitiges Dreieck werden auf die gleiche Weise konstruiert. Zunächst trägt man die Basis ab, für ein gleichseitiges Dreieck entspricht dies einer beliebige Seite. Nun wird mit dem Zirkel auf beiden Enden der ersten Strecke ein (Teil)Kreis eingezeichnet, der Radius sollte die Länge der verbleibenden Seite(n) haben. Der Schnittpunkt der Kreise bildet den dritten Eckpunkt des Dreiecks. Man muss nun nur noch die Enden der ersten Strecke mit dem Schnittpunkt verbinden.

Dreieck16_1Dreieck16_2