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» Peripheriewinkelsatz
» Beweis
» Satz des Thales

Peripheriewinkelsatz

Liegen die Eckpunkte eines Dreiecks auf einem Kreis, so kann man ein paar interessante Eigenschaften feststellen. Sei die Sehne \(\overline{AB}\) fest auf dem Kreis und der Punkt \(C\) lässt sich beliebig auf dem Kreis bewegen. So besagt der Peripheriewinkelsatz, auch Umfangswinkelsatz genannt:


Der Winkel am Punkt \(C\) ist immer gleich groß. Dieser wird auch Peripheriewinkel genannt, da er den gegebenen Kreisbogen über \(\overline{AB}\) zu einem vollständigen Kreis ergänzt.

Thales1


Der Peripheriewinkel zur selben Kreissehne ist immer gleich groß.

Beweis

Wieso ist das nun so? Um das zu beweisen, müssen wir uns erst einmal mit einer weiteren Aussage befassen:


Der Mittelpunktswinkel \(M\) ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel \(C\).

Thales2

Wenn wir diese Aussage beweisen, dann ist auch der Peripheriewinkelsatz bewiesen. denn selbst wenn wir \(C\) bewegen, bleibt der Mittelpunktswinkel gleich, demzufolge auch \(C\).
Zunächst verbinden wir \(M\) und \(C\) und erhalten somit drei gleichschenklige Dreiecke (die Schenkellängen entsprechen dem Kreisradius) mit den folgenden Winkeln:

Thales3

Nun müssen wir zeigen, dass \(\beta=2\cdot\alpha\) gilt. Versuchen wir dazu erst mal die Winkel \(\delta\) (Delta) und \(\zeta\) (Zeta) zu bestimmen.

Laut dem Innenwinkelsatz beträgt die Winkelsumme jedes Dreiecks 180°. Somit gelten für die Teildreiecke folgende Formeln:
\begin{align*}
&&\epsilon+2\cdot\delta=180^{\circ}\\
&&\zeta+2\cdot\gamma=180^{\circ}\\
&\Longleftrightarrow&\\
&&\epsilon=180^{\circ}-2\cdot\delta\\
&&\zeta=180^{\circ}-2\cdot\gamma
\end{align*}

Ein Kreis besteht insgesamt aus 360°. Daher gilt also:
\begin{align*}
&&360^{\circ}=\epsilon+\zeta+\beta \\
&\Longleftrightarrow&\beta=360^{\circ}-\epsilon-\zeta
\end{align*}
Jetzt setzen wir unsere beiden Terme für \(\epsilon\) und \(\zeta\) ein:
\begin{align*}
&&\beta&=&&360^{\circ}-(180^{\circ}-2\delta)-(180^{\circ}-2\gamma) \\
&\Longleftrightarrow&\beta&=&&360^{\circ}-180^{\circ}+2\delta-180^{\circ}+2\gamma \\
&\Longleftrightarrow&\beta&=&&2\delta+2\gamma \\
&\Longleftrightarrow&\beta&=&&2(\delta+\gamma) \\
&\Longleftrightarrow&\beta&=&&2\alpha
\end{align*}
Damit haben wir die Aussage des Peripheriewinkelsatzes bewiesen.

Satz des Thales

Hier handelt es sich um einen Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes. Wir betrachten diesmal einen Halbkreis. Die beiden Endpunkte des Durchmessers bilden eine Seite des Dreiecks und sind fest. Den dritten Punkt wählt man beliebig auf dem Halbkreis. Verbindet man diesen Punkt mit den beiden Endpunkten des Durchmessers, bekommen wir ein Dreieck. Die Besonderheit dabei ist: Egal, wo wir unseren Punkt \(C\) platzieren, es entsteht immer ein rechtwinkliges Dreieck.

Thales4

Diese Aussage lässt sich auch umkehren: Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt des Umkreises immer mittig auf der Hypotenuse des Dreiecks.