Wenn du verstehen willst, wie man Brüche miteinander addieren und subtrahieren kann, lohnt es sich, zuerst den einfachsten Fall anzusehen: Die Addition zweier Brüche mit gleichem Nenner - solche Brüche nennt man gleichnamig. Wenn du, zum Beispiel mit Hilfe der vorherigen Kapitel, verstanden hast, was Brüche sind, ist es völlig klar, warum man für die Summe gleichnamiger Brüche ihre Zähler miteinander Addiert: Stell dir vor, du hast eine Tafel Schokolade in \(8\) gleichgroße Teile zerteilt und nimmst dir erst \(3\) Teile (also \(\frac{3}{8}\) der Schokolade) und dann noch einmal \(2\) Teile (also \(\frac{2}{8}\) der Schokolade). Zusammen kommst du dann natürlich auf \(3+2 = 5\) Teile. Die Teile sind nach wie vor gleichgroß, du hast die Schokolade ja in \(8\) gleichgroße Stücke geteilt. Zusammen hast du also \(\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}\) der Schokolade. Du siehst, wenn die Brüche gleichnamig sind, ist ihre Addition kinderleicht.
Was aber, wenn die Brüche ungleichnamig sind? Was ist, wenn man zum Beispiel \(\frac{1}{4}\) einer Schokolade mit \(\frac{3}{10}\) einer Schokolade addieren will? Klar, man hat zunächst \(4\) Stücke. Das Problem ist aber, dass diese Stücke unterschiedlich groß sind (Wenn man eine Tafel Schokolade in \(4\) Stücke zerlegt, hat man natürlich größere Stücke, als wenn man sie in \(10\) Teile zerlegt.). Dies führt dazu, dass die \(4\) Stücke, die man hat, erst einmal keinen Bruch bilden, denn Brüche sind ja eine bestimmte Anzahl gleichgroßer Teile. Was macht man nun also? Die Antwort heißt: Erweitern! Bleiben wir bei unserem Beispiel: Man kann \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{3}{10}\) jeweils so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben. Dieses Vorgehen heißt „auf einen gemeinsamen Nenner bringen“. \(\frac{1}{4}\) kann um \(5\) zu \(\frac{5}{20}\) erweitert werden, während man \(\frac{3}{10}\) um \(2\) zu \(\frac{6}{20}\) erweitern kann. Nun kann man ganz bequem die beiden Brüche addieren: aus \(\frac{1}{4} + \frac{3}{10}\) wurde\begin{align*}\frac{1}{4}+\frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{5}{20}+\frac{6}{20}=\frac{11}{20}\end{align*}
Die Zahlen, die man braucht, um die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, sind uns bereits begegnet: bei \(20\) im obigen Beispiel handelt es sich um nichts anderes, als das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner \(4\) und \(10\)! Wenn man das kgV der Nenner bestimmt hat, muss man nur noch die Brüche jeweils so erweitern, dass die Nenner jeweils zum kgV der Nenner werden.

Übrigens, bei der Suche nach einem gemeinsamen Nenner ist es eigentlich gar nicht notwendig, das kleinste gemeinsame Vielfache zu suchen - es reicht völlig aus, irgendein gemeinsames Vielfaches zu finden! Da das Produkt der beiden Nenner offensichtlich auch ein gemeinsames Vielfaches von ihnen ist (im Beispiel oben ist \(4 \cdot 10 = 40\) offensichtlich ein gemeinsames Vielfaches von \(4\) und \(10\)), reicht es aus, mit dem Nenner des jeweils anderen Bruches zu erweitern. Wir erhalten dann: \begin{align*}\frac{1}{4}+\frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 10}{4 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 4}{10 \cdot 4} =\frac{10}{40}+\frac{12}{40} = \frac{22}{40} = \frac{11}{20}\end{align*}
wobei im letzten Schritt mit \(2\) gekürzt worden ist (dass \(2\) der ggT von \(4\) und \(10\) ist, ist übrigens kein Zufall). Hier sind zwei weitere Beispiele für die Addition von Brüchen:
\begin{align*}
\frac{5}{14}+\frac{6}{7} = \frac{5}{14}+\frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{5}{14}+\frac{12}{14} = \frac{17}{14}
\end{align*}
Aber auch:
\begin{align*}
\frac{5}{14} + \frac{6}{7} = \frac{5 \cdot 7}{14 \cdot 7} + \frac{6 \cdot 14}{7 \cdot 14} = \frac{35}{98} + \frac{84}{98} = \frac{119}{98} = \frac{17}{14}
\end{align*}
Wobei im letzten Schritt mit \(7\) gekürzt wurde.
\begin{align*}
\frac{3}{100}+\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{100 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 50}{6 \cdot 50} = \frac{9}{300}+\frac{50}{300}=\frac{59}{300}
\end{align*}
Aber auch:
\begin{align*}
\frac{3}{100} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6}{100 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 100}{6 \cdot 100} = \frac{118}{600} = \frac{59}{300}
\end{align*}
Wobei im letzten Schritt mit \(2\) gekürzt wurde.

In dem interaktiven Tool kannst du Brüche miteinander addieren. Unter dem roten Balken kannst den ersten Bruch einstellen, unter dem Grünen den zweiten. In den Balken darunter werden die Brüche dann jeweils mit dem Nenner des anderen erweitert, so dass die Nenner der beiden Brüche gleich sind. Im untersten Balken werden die Brüche dann addiert indem der rote und der grüne Balken zusammengeführt werden.

Hier geht es zum interaktiven Tool!

Wenn du die Addition von Brüchen verstanden hast, wird die Subtraktion von Brüchen auch kein Problem mehr sein, sie funktioniert nämlich genauso wie die Addition: Zunächst werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, damit man anschließend die Zähler voneinander abziehen kann. Hier ein kleines Beispiel \begin{align*}\frac{7}{8}-\frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{21}{24}-\frac{20}{24} = \frac{1}{24}\end{align*}
Doch was, wenn man nicht zwei, sondern drei Brüche miteinander addieren (bzw. subtrahieren) will? Ganz einfach, du addierst zunächst zwei Brüche, und addierst danach den Dritten zum Ergebnis dazu. Hier ein kleines Beispiel:

\begin{align*}\frac{3}{8} + \frac{2}{7} - \frac{1}{5} & = \frac{3 \cdot 7}{8 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 8}{7 \cdot 8} - \frac{1}{5} \\ & = \frac{21}{56}+\frac{16}{56}-\frac{1}{5} \\ & = \frac{37}{56}-\frac{1}{5} \\ & = \frac{37 \cdot 5}{56 \cdot 5}-\frac{1 \cdot 56}{5 \cdot 56} \\ & = \frac{185}{290} - \frac{56}{290} \\ & = \frac{129}{290}\end{align*}

 

 


Man kann so fortfahren und beliebig viele Brüche addieren und subtrahieren!
Wenn du das alles verstanden hast, sollten dir die folgenden Aufgaben keine Probleme bereiten:

Übung: Berechne!

\begin{align*}
&a) &&\frac{4}{3}+\frac{1}{6}\\
&b) &&\frac{2}{9}+\frac{1}{4}\\
&c) &&\frac{1}{10} + \frac{3}{7}\\
&d) &&\frac{9}{7} - \frac{2}{3}\\
&e) &&\frac{5}{8}-\frac{5}{12}\\
&f) &&\frac{2}{3}+\frac{7}{5}-\frac{1}{3}\\
&g) &&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\\
\end{align*}

 

 

Lösung

\begin{align*}
&a) &&\frac{4}{3}+\frac{1}{6}=\frac{8}{6}+\frac{1}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\\
&b) &&\frac{2}{9}+\frac{1}{4}=\frac{8}{36}+\frac{9}{36}=\frac{17}{36}\\
&c) &&\frac{1}{10} + \frac{3}{7}=\frac{7}{70}+\frac{30}{70}=\frac{37}{70}\\
&d) &&\frac{9}{7} - \frac{2}{3}=\frac{27}{21}-\frac{14}{21}=\frac{13}{21}\\
&e) &&\frac{5}{8}-\frac{5}{12}=\frac{15}{24}-\frac{10}{24}=\frac{5}{24}\\
&f) &&\frac{2}{3}+\frac{7}{5}-\frac{1}{3}=\frac{10}{15}+\frac{21}{15}-\frac{5}{15}=\frac{26}{15}\\
&g) &&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{30}{60}-\frac{20}{60}+\frac{15}{60}-\frac{12}{60}=\frac{13}{60}\\
\end{align*}