Eine zweite Möglichkeit, die reellen Zahlen zu konstruieren, bieten die so genannten Cauchy-Folgen. Eine Cauchy-Folge rationaler Zahlen ist eine Folge rationaler Zahlen, deren Folgenglieder\( \) sich „immer näher kommen“, das heißt, dass der Abstand zwischen zwei Folgengliedern ab einer gewissen Stelle beliebig klein wird. Ein Beispiel für eine Cauchy-Folge ist

\begin{align*}
\frac{1}{2}; \ \frac{2}{3}; \ \frac{4}{5}; \ \frac{5}{6}; \ \frac{6}{7}; \ \frac{7}{8}; \ \frac{8}{9}; \ \frac{9}{10}; \ \frac{10}{11}; \ \frac{11}{12}; \ \frac{12}{13}; \dots
\end{align*}

Die Cauchy-Eigenschaft erkennt man dadurch, dass der Abstand zweier Folgenglieder ab einer bestimmten Stelle beliebig klein ist. Ein weiteres Beispiel für eine Cauchy-Folge ist
\begin{align*}
0;0,1;0,01;0,001;0,0001;0,00001;0,000001;0,0000001;0,0000001;0,00000001; \dots
\end{align*}

Es ist klar, dass der Abstand zwischen zwei Folgengliedern beliebig klein wird. Keine Cauchy-Folge ist hingegen
\begin{align*}
0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;0;1;\dots
\end{align*}
also die Folge, die immer zwischen Null und Eins hin- und herspringt. Diese Folge ist keine Cauchy-Folge, da der Abstand zwischen den einzelnen Folgengliedern offensichtlich nicht beliebig klein werden kann.
Ebenfalls keine Cauchy-Folge ist:
\begin{align*}
1; \ \frac{1}{2}; \ 1; \ \frac{1}{3}; \ 1; \ \frac{1}{4}; \ 1; \ \frac{1}{5}; \ 1; \ \frac{1}{6}; \ 1; \ \frac{1}{7}; \
\end{align*}

da sich zwar die Elemente der Teilfolgen \((\frac{1}{n})_n\) und \(1;1;1;1;,…\) jeweils untereinander immer näher kommen, dies allerdings nicht gegenseitig gilt.
Die Folge
\begin{align*}
\frac{1}{2}; \ 0; \ \frac{1}{3}; \ 0; \ \frac{1}{4}; \ 0; \ \frac{1}{5}; \ 0; \dots
\end{align*}

Ist wiederrum eine Cauchyfolge: die Folgenglieder kommen einander beliebig nahe.

Kommen wir zur eigentlichen Definition von Cauchyfolgen, dabei wird nur der Gedanke präzisiert, den wir uns bereits vorher zu Cauchy-Folgen gemacht haben:

Eine Folge \(a_1; \ a_2; \ a_3; \ a_4, \dots\) ist eine Cauchy-Folge, wenn zu jeder noch so kleinen vorgegebenen Schranke die Abstände von zwei Folgengliedern ab einem bestimmten Folgenglied immer kleiner sind als die vorgegebene Schranke.


Machen wir uns diese Definition an dem Beispiel oben und der Schranke 0,25 klar: ab dem Folgenglied 4/5 ist der Abstand zwischen zwei Folgengliedern kleiner als 0,25 (warum ist das so?), ab dem Folgenglied 99/10 ist der Abstand zwischen zwei Folgengliedern stets kleiner als 0,01.
periodeine Cauchy-Folge zu \(\sqrt{2}\)
Probiere einmal anhand der Definition von oben zu begründen, warum die zweite Folge ebenfalls eine Cauchy-Folge ist, und warum die dritte Folge keine Cauchy-Folge ist.
Doch was haben Cauchy-Folgen mit reellen Zahlen zu tun? Wenn wir eine handelsübliche reelle Zahl in Dezimaldarstellung betrachten, zum Beispiel \(\sqrt{2}=1,41421…\), meinen wir mit den drei Punkten eigentlich, dass es „so und so“ weitergeht. Dieses „so und so“-weiter lässt sich aber gerade durch die Cauchyfolge
\begin{align*}
1;1,4;1,41;1,414;1,4142;…
\end{align*}

charakterisieren. In gewisser Hinsicht ist \(\sqrt{2}\) also die oben genannte Cauchyfolge. Was passiert aber, wenn zwei Cauchy-Folgen die gleiche reelle Zahl charakterisieren? Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, dass die Cauchy-Folge
\begin{align*}
1; \ \frac{3}{2}; \ \frac{17}{12}; \ \frac{577}{408}; \ \frac{665857}{470832}; \dots;
\end{align*}
ebenfalls \(\sqrt{2}\) charakterisiert.

Um zu entscheiden, ob zwei Cauchy-Folgen die gleiche Zahl charakterisieren, müssen wir einen weiteren Begriff einführen, den der Nullfolge:

Ein Folge \(a_1; \ a_2; \ a_3; \ a_4; \ \dots\) heißt Nullfogle, wenn für jede noch so kleine positive Zahl (zum Beispiel \(0,00000001\)) bis auf endlich viele Ausnahmen jedes Folgenglied betragsmäßig kleiner ist als diese Zahl, also dann, wenn die Folgenglieder betragsmäßig beliebig klein werden können (und auch bleiben).

In der Abbildung sehen wir ein Beispiel für eine Nullfolge:
siebenundneunzigdurchvierEine Nullfolge: Irgendwann befinden sich alle Folgenglieder im roten Streifen.In der Abbildung sieht man, wie sich die Folge ab dem 10. Glied im roten Streifen befindet, und diesen auch nicht mehr verlässt. Bei Nullfolgen tritt dieses Verhalten irgendwann immer auf, egal, wie dünn der Streifen auch sein mag.

Mit dem Begriff der Nullfolge haben wir nun ein Werkzeug zu Hand, mit dem wir beschreiben können, wann zwei Cauchy-Folgen dieselbe reelle Zahl charakterisieren, nämlich genau dann, wenn die Differenzfolge eine Nullfolge bildet. Anschaulich gesprochen ist das der Fall, wenn der Abstand zwischen einem Folgenglied der einen und einem Folgenglied der anderen Folge beliebig klein wird.
periodzwei äquivalente Cauchy-Folgen: die Folge der Abstände, dargestellt durch die gestrichelten Linien, ist eine Nullfolge.Zwei Cauchy-Folgen, die wie oben beschrieben dieselbe Zahl charakterisieren werden äquivalent genannt. Ähnlich wie bei Intervallschachtelungen kann eine reelle Zahl nun definiert werden als die Zusammenfassung aller Cauchy-Folgen, die diese Zahl definieren; Cauchy-Folgen, die sich nur um eine Nullfolge unterscheiden, werden dabei miteinander identifiziert.

Man kann zeigen (und das würde den Rahmen des Artikels natürlich sprengen), dass diese Konstruktion der reellen Zahlen die gleichen Eigenschaften hat, wie die Konstruktion mittels Intervallschachtelungen.

Nachdem dieser Abschnitt eher theoretischer Natur war, geht es im nächsten Kapitel um ein weiteres, neues Verfahren zur Bestimmung der Wurzel aus zwei (welches wie das Intervallhalbierungsverfahren auch auf andere Wurzeln ausgeweitet werden kann), das Heron-Verfahren. Dieses Verfahren hat gegenüber dem Intervallschachtelungsverfahren eine immens höhere Effizienz: In der Tat wird mit jedem Rechenschritt die Anzahl der gültigen Nachkommastellen in etwa verdoppelt.