Nachdem du im letzten Artikel die Konstruktion reeller Zahlen mittels Cauchy-Folgen kennengelernt hast, geht es nun um ein äußerst effizientes Verfahren (man kann auch von einem Algorithmus sprechen) zur Bestimmung von Quadratwurzeln, dem Heron-Verfahren. Das Heron-Verfahren geht zurück auf den griechischen Mathematiker Heron von Alexandria, der es vor über 2000 Jahren entwickelte. Es handelt sich dabei um ein so genanntes rekursives Verfahren, das heißt, ein Verfahren, bei dem man mit einem Startwert beginnt und mit diesem Startwert immer den gleichen Rechenschritt („rekursiv“) durchführt, bis das Ergebnis die gewünschte Genauigkeit hat.

Für das Heron-Verfahren muss man sich eine wichtige Sache klarmachen:

Seien \(a\) und \(n\) beliebige positive Zahlen, dann gilt:
Wenn \(a<\sqrt{n}\), dann ist \(\frac{n}{a}\geq \sqrt{n}\)
Wenn \(a>\sqrt{n}\), dann ist \(\frac{n}{a}\leq \sqrt{n}\).

Der Beweis ist denkbar einfach. Wir beschränken uns auf den ersten Fall, denn der zweite funktioniert genauso (Mathematiker verwenden in solchen Situationen übrigens das Kürzel o.B.d.A, das heißt „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“: das heißt, man erledigt den Beweis nur für einen Spezialfall, in unserem Fall \(a<\sqrt{n}\), und verweist darauf, dass die anderen Fälle, also \(a>\sqrt{n}\) nach dem gleichen Prinzip bewiesen werden, die Allgemeinheit der Aussage wird also nicht durch Zusatzannahmen beschränkt).

Sei also \(a<\sqrt{n}\). Wir nehmen an, die Aussage sei falsch, das heißt, wir stellen uns vor, es gibt Zahlen \(a\) und \(n\), für die sowohl \(a<\sqrt{n}\), als auch \(\frac{n}{a}<\sqrt{n}\) gilt (das Gegenteil von "\(\geq\)" ist "\(<\)", nicht "\(\leq\)"!).

Nun ist es für positive Zahlen offenbar so, dass aus \(r<s\) und \(t<u\) automatisch \(r\cdot t<s\cdot u\) folgt. Wenn wir diese Beobachtung auf oben anwenden, heißt das also, dass aus \(a<\sqrt{n}\) und \(\frac{n}{a}<\sqrt{n}\) automatisch \(a \cdot \frac{n}{a}<\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}\) folgt. Die Linke Seite vereinfacht sich zu
\begin{align*}
a\cdot\frac{n}{a}=\frac{a\cdot n}{a}=\frac{n}{1}=n,
\end{align*}
während wir rechts
\begin{align*}
\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=\sqrt{n}^2=n
\end{align*}

erhalten.

Wir haben also aus dem angeblichen Gegenbeispiel die Aussage \(n<n\) hergeleitet, was offensichtlich falsch ist. Also muss die Annahme, es existiert ein Gegenbeispiel, falsch sein, das heißt, wenn \(a<\sqrt{n}\) gilt, muss auch \(\frac{n}{a}>=\sqrt{n}\) gelten (und andersrum).

siebenundneunzigdurchvierEine Veranschaulichung des obigen Satzes: \(\sqrt{n}\) liegt immer zwischen \(a\) und \(\frac{n}{a}\).

Nachdem dies geklärt wurde, ist es zum Heron-Verfahren nur noch ein Katzensprung: Wir wollen \(\sqrt{n}\) berechnen. Betrachten wir dazu zunächst einen beliebigen Startwert \(a_0\). Anschließend berechnen wir die Zahl \(\frac{n}{a}_0\). Wie wir oben gesehen haben, muss sich \(\sqrt{n}\) irgendwo zwischen \(a_0\) und \(\frac{n}{a_0}\) befinden. Ein geeigneter Kandidat für \(\sqrt{n}\) ist dann deswegen die Zahl, die genau zwischen \(a_0\) und \(\frac{n}{a_0}\) liegt, also das geometrische Mittel
\begin{align*}
\frac{a_0 + \frac{n}{a_0}}{2} =\frac{a_0^2+n}{2a_0}.
\end{align*}

Diese Zahl definiert man als neuen Wert \(a_1\). Auf genau diese Weise berechnet man nun \(a_2,a_3,…\) und hat mit jedem Schritt eine besseren Näherung. Die Rekursionsgleichung des Heronverfahrens lautet also:
\begin{align*}
a_{k+1}=\frac{a_k^2+n}{2a_k}.
\end{align*}

periodda \(\sqrt{n}\) immer zwischen \(a\) und \(\frac{n}{a}\) liegt, ist der Mittelpunkt von \(a\) und \(\frac{n}{a}\) als neuer Wert gut geeignet.

Wir wollen zum Beispiel eine Näherung von \(\sqrt{3} \approx 1,7320508...\) finden.
Wir starten mit einem beliebigen Startwert, zum Beispiel \(a_0=2\).
Über die Rekursionsgleichung \(a_{k+1}=\frac{a_k^2+n}{2a_k}\) berechnen wir
\begin{align*}
a_1&=\frac{a_0^2+3}{2a_0}=\frac{2^2+3}{2\cdot 2}=\frac{7}{4}\\
a_2&=\frac{(\frac{7}{4})^2+3}{2 \cdot \frac{7}{4}}=\frac{97}{56}\\
a_3&=\frac{18817}{10864}\\
a_4&=\frac{708158977}{408855776}.
\end{align*}

 


wir haben
\begin{align*}
a_4=\frac{708158977}{408855776} \approx 1,73205081001473,
\end{align*}

was mit dem echten Ergebnis
\begin{align*}
\sqrt{3}\approx 1.73205080756888
\end{align*}

auf \(7\) Nachkommastellen übereinstimmt. Nach \(5\) Schritten haben wir bereits so viele gültige Stellen, dass man die Näherung vom echten Ergebnis auf handelsüblichen Taschenrechner nicht unterscheiden kann (tatsächlich hat man mit jedem Schritt etwa doppelt so viele gültige Stellen!).

Das Heronverfahren kann man auch geometrisch interpretieren, wir wollen damit bspw. die Quadratwurzel aus \(5\) annähern: Wir betrachten (wie in der Graphik dargestellt) den Graphen der Funktion \(f(x)=\frac{5}{x}\) und die die gerade \(g(x)=x\), die Winkelhalbierende des Koordinatensystems. Jeder Punkt auf dem Graphen von \(f\) hat also die Koordinaten \((x|\frac{5}{x})\). Das heißt also, dass das Blaue Rechteck immer einen Flächeninhalt von \(\frac{5}{x}\cdot x=5\) hat, egal welchen Punkt man wählt, insbesondere hat das Blaue Rechteck immer den gleichen Flächeninhalt wie das Rote Quadrat mit der Seitenlänge \(\sqrt{5}\).

Wir starten mit einem beliebigen Punkt \(P_0(x_0|\frac{5}{x_0})\) auf dem Graphen und spiegelt ihn an der Geraden \(g\) um den Punkt \(P‘_0\) zu erhalten. \(P‘_0\) und hat die offenbar die Koordinaten \(P‘_0(\frac{5}{x_0}|x_0)\). Der Schnittpunkt \(Q_1\) der Geraden \(g\) und \(\overline{PP‘}\) hat als Koordinaten jeweils genau den Mittelwert aus \(\frac{5}{x_0}\) und \(x_0\) (Warum ist das so?), also gerade den ersten Schritt \(a_1\) Näherungswert des Heronverfahrens. Projiziert man den Punkt \(Q_1\) senkrecht nach unten auf den Graphen, erhält man den Punkt \(P_1(a_1|\frac{5}{a_1})\), mit dem man genauso verfährt wie mit \(P_0\). So erhält man Schritt für die Punkte \(Q_1,Q_2,Q_3,…\) deren \(x-\) und \(y-\)Koordinaten jeweils die Annäherungen an \(\sqrt{5}\) mit dem Heronverfahren sind.

dezimalplus2

Das Ganze kann man sich nun so vorstellen, dass man von einem Punkt auf dem Graphen von \(f\) aus startet, danach im \(45°\)-Winkel nach oben links geht, bis man auf g trifft. Danach geht man senkrecht nach unten, bis man wieder auf \(f\) trifft und wiederholt den Vorgang bis zur gewünschten Genauigkeit. Dieses Schema wird im interaktiven Tool verdeutlicht, bei dem du das die Möglichkeit hast, vier Schritte des Heronverfahrens auf einen beliebigen Startwert anzuwenden: ziehe dazu den Punkt \(P_0\) zu einem beliebigen Punkt auf dem Graphen von \(f\), drücke auf „LOS!“ und beobachte, was passiert!

Hier geht es zum interaktiven Tool!

Das Heronverfahren lässt sich gut mit einem Computer implementieren, dies geschieht in etwa so:

00 Das Heronverfahren zur Berechnung von sqrt(5) in 10 Schritten:
10 setze a=2
20 setze n=1
30 setze a=0.5*(a+5/a)
40 setze n=n+1
50 falls n>9 gebe a aus, andernfalls gehe zu 30

Beachte, dass für die Implementierung des Heronverfahrens weniger Zeilen Code und weniger If-Abfragen nötig sind, als beim Intervallhalbierungsverfahren, und das bei einer wesentlich besseren Ausbeute!

Die reellen Zahlen sind wegen ihrer Vollständigkeit (es gibt keine „Lücken“) der Zahlenbereich, der in der Analysis, dem Teilbereich der Mathematik, der sich mit Grenzwerten, Stetigkeit und Änderungsraten beschäftigt, und in der Physik am häufigsten benutzt wird.
Insbesondere sind die wichtigsten Funktionen der Analysis, etwa die Exponentialfunktionen, die Logarithmen und die trigonometrischen Funktionen für die reellen Zahlen definiert. Mehr dazu findest du hier.

Wegen ihrer Anwendung in der Physik und den anderen Naturwissenschaften sind die reellen Zahlen für viele Menschen der Inbegriff für „Alle Zahlen“. Dass das nicht der Fall ist, dass es also Zahlen gibt, die keine reellen Zahlen sind, wussten schon italienische Mathematiker der Renaissance. Sie hantierten mit Gleichungen, die im Reellen keine Lösung hatten, zum Beispiel mit der Gleichung x^2=-1 und erkannten dabei, dass man, wenn man so, tut als hätten diese Gleichungen Lösungen, man mit diesen „imaginären“ Lösungen genauso sinnvoll rechnen kann wie mit reellen Zahlen: Dies war die Geburtsstunde der komplexen Zahlen, die im nächsten Kapitel besprochen werden.