Inhalt
» Die Länge eines Vektors und der Einheitsvektor
» Das Skalarprodukt
» Das Skalarprodukt
» Winkel zwischen zwei Vektoren
» Das Orthogonalitätskriterium und Normalvektoren
» Beispiele
» Anmerkungen

Die Länge eines Vektors und der Einheitsvektor

Die Länge eines Vektors und der Einheitsvektor
Die Länge eines Vektors \(\vec v=(x,y)\) definieren wir angelehnt an den Betrag mit \(|\vec v |\). Wie lang ist jedoch ein Vektor \(v\)? In der Ebene können wir uns das ganz einfach über den Satz des Pythagoras herleiten:

ebenen 3


\begin{align*}
|\vec v|^2=x^2+y^2
\Rightarrow |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2}
\end{align*}
Auch für einen Vektor des Raumes lässt sich die (analoge) Formel
\begin{align*}
|\vec v|^2=x^2+y^2+z^2
\Rightarrow |\vec v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
\end{align*}
herleiten.

ebenen 4


Ganz allgemein definieren wir daher die Länge eines Vektors des \(\mathbb{R}^n\) über
\begin{align*}
|\vec v|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2}
\end{align*}
Wissen wir die Länge eines Vektors \(\vec v\), so haben wir die Möglichkeit, diesen auf die Länge 1 zu stauchen. Vektoren mit
\begin{align*}
|\vec v|=1
\end{align*}
nennt man Einheitsvektoren. Diese spielen in der Anwendung, siehe in den Beispielen, eine wichtige Rolle.

Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist ein inneres Produkt, dieser Begriff wird euch primär in der Universität begegnen, mehr dazu im Link. Es hat jedoch auch in der Schule vielseitige Anwendungen. Wir definieren es ganz allgemein für zwei Vektoren \(\vec{u}, \vec{v}\) des \(\mathbb{R}^n\):
\begin{align*}
<\vec{u}, \vec{v}>&= \vec{u}\cdot \vec{v}=
\begin{pmatrix}
u_1 \\ \cdots \\ u_n
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
v_1 \\ \cdots \\ v_n
\end{pmatrix}\\
&=u_1\cdot v_1+\cdots u_n\cdot v_n.
\end{align*}


Umgangssprachlich "multiplizieren wir also komponentenweise und addieren dann alles auf". Dabei wird \(<\vec{u}, \vec{v}>\) in der Schule oft als \(\vec{u}\cdot \vec{v}\) definiert. Es heißt jedoch nicht Produkt, sondern Skalarprodukt, da kein Vektor, sondern ein Skalar als Ergebnis heraus kommt. Für \(\vec{u}, \vec{v}\) aus dem \(\mathbb{R}^2\) erhalten wir
\begin{align*}
\vec{u}\cdot \vec{v}=
\begin{pmatrix}
x_u \\ y_u
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_v \\ y_v
\end{pmatrix}=x_ux_v+y_uy_v.
\end{align*}
Betrachten wir einige Zahlenbeispiele (weitere findet ihr unter Beispiele)
\begin{align*}
\binom{1}{2}\cdot \binom{3}{4}=1\cdot 3+2\cdot 4=11,\\
\binom{3}{-1}\cdot \binom{2}{6}=3\cdot 2+(-1)\cdot 6=0\\
\binom{1}{-1}\cdot \binom{0}{-2}=1\cdot 0+(-1)\cdot (-2)=2.
\end{align*}

 


Eine der Hauptanwendungen des Skalarprodukts folgt nun.

Winkel zwischen zwei Vektoren

Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man den Winkel \(\alpha\) zwischen zwei Vektoren \(\vec a, \vec b\) ausrechnen. Es gilt die Formel
\begin{align*}
\cos \alpha =\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}.
\end{align*}
Dabei ist \(\vec a\cdot\vec b\) das Skalarprodukt der zwei Vektoren und \(|\vec a|\cdot |\vec b|\) das Produkt ihrer Längen. Eine Herleitung dieser Formel findet ihr zum Beispiel hier (Link), wir beschäftigen uns nun mehr mit den Anwendungen im folgenden Kapitel und in den Beispielen.

Das Orthogonalitätskriterium und Normalvektoren

Aus der Trigonometrie wissen wir, dass \(\cos 90^\circ =0\) gilt. Dadurch können wir für \(\alpha=90^\circ\) die Formel des vorigen Abschnittes umformen
\begin{align*}
\cos 90^\circ =\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}\\
0 =\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}\\
0 =\vec a\cdot\vec b.
\end{align*}

 


Wir können daraus schließen, dass zwei Vektoren genau dann normal (rechtwinlig, orthogonal) zueinander stehen, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Wir können dies aber auch nutzen, um zu einem vorgegeben Vektor \((x,y)\) den Normalvektor, also ein Vektor, der rechtwinklig zu \((x,y)\) steht, zu finden denn wir wissen, dass ihr Skalarprodukt 0 ergeben muss! Eine kurze Überlegung zeigt uns, dass der Vektor \((-y,x)\) (oder der Vektor \((y,-x)\)) immer rechtwinklig zu \((x,y)\) stehen muss:
\begin{align*}
\binom{x}{y}\cdot \binom{-y}{x}=x\cdot (-y)+y\cdot x =-xy+xy=0.
\end{align*}
Die Merkregel auf der Suche nach Normalvektoren lautet also: Koordinaten umdrehen und ein Vorzeichen wechseln.

Das Kreuzprodukt

Im Raum, dem \(\mathbb{R}^3\) gibt es sogar ein "Produkt" für Vektoren bei dem nicht ein Skalar herauskommt, wie beim Skalarprodukt, sondern ein Vektor. Wir bezeichnen es als Kreuzprodukt und es ist wie folgt definiert
\begin{align*}
\vec{u}\times \vec{v}=\begin{pmatrix}
x_u \\ y_u \\z_u
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
x_v \\ y_v \\ z_v
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
y_uz_v-z_uy_v \\ z_ux_v-x_uz_v \\ x_uy_v-y_ux_v
\end{pmatrix}
\end{align*}

 

Das sieht kompliziert zu merken aus, es gibt jedoch einige beliebte Merkregeln, schaut in die Anmerkungen
Warum benötigen wir das Kreuzprodukt? Der so gewonnene Vektor steht rechtwinklig zu \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\)! DIes hilft uns in einigen Geometriebeispielen und später, bei den Ebenen.

Beispiele

Finde den Einheitsvektor: Gegeben ist der Vektor \(\vec v=(1,-2)\). Finde den dazugehörigen Einheitsvektor.
Lösung: Wir berechnen die Länge des Vektors über
\begin{align*}
|\vec v|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}.
\end{align*}
Das ist also die Länge des Vektors. Wollen wir nun, dass er Länge 1 hat, müssen wir ihn um den Faktor \(\sqrt{5}\) stauchen. Dies geschieht über
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{5}}\binom{1}{-2}=\binom{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{-2}{\sqrt{5}}}.
\end{align*}
Dieser Vektor hat nun tatsächlich die Länge 1 wie wir ganz einfach überprüfen
\begin{align*}
|v|& =|\binom{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{-2}{\sqrt{5}}}|=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{5}})^2+(\frac{-2}{\sqrt{5}})^2}=\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{5}{5}}=1
\end{align*}

ebenen 1


Nutzen des Normal- und des Einheitsvektors: Wir betrachten die zwei bekannten Punkte eines Rechtecks, mit den Seitenlängen \(5\) und \(7\) und den bekannten Eckpunkten \(A=(1,1)\) und \(B=(5,4)\). Berechnen Sie die fehlenden zwei Punkte (es gibt zwei Lösungen).

ebenen 2
Lösung: Zuerst berechnen wir die Länge von \(\vec a:=\vec{AB}=\binom{4}{3}\), wir erhalten \(|\vec{a}|=5\). Daher muss die andere Seite 7 lang sein, sie steht außerdem rechtwinklig zu \(\vec a\).

ebenen 1

Der Normalvektor dazu ist
\begin{align*}
\binom{3}{-4}
\end{align*}
(oder (-3,4), wir berechnen jedoch nur eine Lösung), diesen wollen wir 7 Einheiten lang von \(A\) und \(B\) ausgehe.

ebenen 2


Berechnen wir also den Einheitsvektor \(\vec{b}_0\) über
\begin{align*}
\vec{b}_0=\frac{1}{5}\binom{3}{-4}=\binom{\frac{3}{5}}{\frac{-4}{5}}
\end{align*}
wobei oft auch die Schreibweise \(\frac{1}{5}\binom{3}{-4}\) bevorzugt wird. Nachdem wir den Vektor auf Länge 1 gestaucht haben, müssen wir ihn um die Länge 7 strecken, der Vektor \(\vec b\), der die Seite \(b\) repräsentiert, ist also gegeben durch
\begin{align*}
\vec b=7\vec{b}_0=7\frac{1}{5}\binom{3}{-4}=\binom{\frac{21}{5}}{\frac{-28}{5}}.
\end{align*}
Die zwei fehlenden Punkte erhalten wir über
\begin{align*}
\vec C=\vec{B}-\vec{b}, \vec D=\vec{A}-\vec{b}
\end{align*}

ebenen 2


Andere Anwendungen des Skalarprodukts: Die fiktive Tabelle der Fußballliga eines fiktiven Landes sieht wie folgt aus

 

Platz Name S U N Punkte

1.

Stern des Rüdens 5 0 0 15
2. Meister der Herzen 3 1 1 10
3. FC Borussia 3 0 2 9
4. FC Dinosaurier 1 2 2 5
5. Union Arsenal 1 1 3 4
6. Borussia Letzter 0 0 5 0


Nutzen Sie das Skalarprodukt um mit der Anzahl der Siege, Unentschieden und Niederlagen die Punkte des FC Dinosaurier ausrechnen zu lassen.
Lösung: Wir stellen den Vektor \(\vec e_D=(1,2,2)\) auf für die Ergebnisse des Dinosauriers auf, dieser steht für einen Sieg, zwei Unentschieden und zwei Niederlagen. Der Punktevektor \(\vec p=(3,1,0)\) steht für Sieg: 3Punkte, Unentschieden: 1 Punkt, Niederlage, 0 Punkte. Die Gesamtpunkte erhält man nun einfach über
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1\\ 2 \\ 2
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
3\\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}=1\cdot 3+2\cdot 1+2\cdot 0.
\end{align*}

 


Natürlich hätten wir diese Rechnung auch ohne Vektoren und Skalarprodukt lösen können, trotzdem werden diese Schreibweisen, auch zum Beispiel in den Wirtschaftswissenschaften gerne verwendet, da \(\vec e_D\cdot p\) ein kompakter Ausdruck zum Arbeiten ist.
Kreuzprodukt: Finden Sie einen Vektor, der zu \(\vec a=(1,2,3)\) und \(\vec b=(4,5,6)\) orthogonal steht.
Lösung: Wir berechnen das Kreuzprodukt nach obigem Schema
\begin{align*}
\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
4\\5\\6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\cdot 6-3\cdot 5\\3\cdot 4-6\cdot 1\\1\times 5-2\times 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3\\ 6\\ -3
\end{pmatrix}.
\end{align*}


Beim Kreuzprodukt kann man sich leicht verrechnen, wir hilft natürlich die Probe mittels Skalarprodukt
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
-3\\ 6\\ -3
\end{pmatrix}=0,\quad \begin{pmatrix}
4\\5\\6
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
-3\\ 6\\ -3
\end{pmatrix}=0.
\end{align*}


Geometrische Anwendungen des Kreuzproduktes: Ein Würfel im Raum hat als Grundfläche das Quadrat \(ABCD\) mit \(A=(1,1,-1)\), \(B=(3,3,0)\), \(C=(1,4,2)\), \(D=(-1,2,1)\).


Lösung: Wir haben also \(\vec{a}=\vec{AB}=\vec{DC}=(2,2,1)\) und \(\vec b=\vec{BC}=\vec{AD}=(-2,1,2)\). Auf einen Blick erkennen wir, dass die Kanten \(\vec a\) und \(\vec b\) gleich lang sind und orthogonal zueinander stehen, denn (kurz ausgeführt)
\begin{align*}
\vec a \cdot \vec b =0\\
|\vec a|=\sqrt{9}=3=|\vec b|.
\end{align*}
Unsere Grundfläche ist also tatsächlich ein Quadrat. Der Punkt \(E\) liegt nun "überhalb" von \(A\), eine Skizze sagt uns, dass \(\vec{AE}\) orthogonal auf \(\vec a\) und \(\vec b\) stehen muss und gleich lang sein.


Kreuzen wir also in einem ersten Schritt \(\vec a\) und \(\vec b\)
\begin{align*}
\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-2\\1\\2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
4-1\\-2-4\\2-(-4)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3\\-6\\6
\end{pmatrix}=\vec h.
\end{align*}
Dabei haben wir \(\vec h\) intuitiv als \(H\)öhe bezeichnet. Nun hat die Höhe offensichtlich noch die falsche Länge, denn
\begin{align*}
|\vec h|=\sqrt{9+36+36}=9,
\end{align*}
wir bilden also wie zuvor den Einheitsvektor \(\vec h_0\) über
\begin{align*}
\vec h_0=\frac{1}{|\vec h|}\cdot \vec h=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}
3\\-6\\6
\end{pmatrix}
\end{align*}
und strecken ihn im Anschluss auf die Länge 3
\begin{align*}
|\vec h|=\sqrt{9+36+36}=9,
\end{align*}
wir bilden also wie zuvor den Einheitsvektor \(\vec h_0\) über
\begin{align*}
3\cdot \vec h_0=3\cdot\frac{1}{9}\begin{pmatrix}
3\\-6\\6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\-2\\2
\end{pmatrix}=:\vec e
\end{align*}
und definieren das nun als den "richtigen" Vektor \(\vec e\) (von \(\vec{AE}\)), wie geschrieben hatte unser erstes \(\vec h\) die falsche Länge.
Wir erhalten dann unser "Dach" über
\begin{align*}
\vec{E}=\vec{A}+\vec{e},\vec{F}=\vec{B}+\vec{e},\vec{G}=\vec{C}+\vec{e},\vec{H}=\vec{D}+\vec{e}.
\end{align*}
Eine kurze Anmerkung, ja, wir hätten die Punkte \(E,F,G\) und \(H\) auch über "\(-\vec e\)" berechnen können, es gibt also zwei Lösungen für unseren Würfel

Anmerkungen

Es gibt zwei verschiedene Merkregeln, welche wir euch nicht verwehren wollen. Ihr findet sie unteranderem hier und hier. (externe Quellen: Ja/Nein?)
Die Schreibweise des Skalarprodukts über \(<u,v>\) resultiert daraus, dass es sich um ein inneres Produkt (im Vektorraum) handelt, ihr findet mehr dazu hier. Das Skalarprodukt stellt die Geometrie her, die Länge eines Vektors zuvor war eine Norm. Das Kreuzprodukt in dieser Form existiert nur im Raum, es hat wichtige Anwendungen in der Physik!
%Die Länge eines Vektors ist eine Norm auf dem \(\mathbb{R}^n\). Das Skalarprodukt ist ein sogenanntes inneres Produkt.