Inhalt:
»Vorbemerkung
»Einige geometrische Gedanken
»Geraden im Raum: die algebraische Überlegung
»Geraden im Raum: die geometrische Überlegung
»Beispiele in der Ebene
»Beispiele im Raum

Vorbemerkung

In diesem Teil geht es zu Beginn um die Lagebeziehung zweier Geraden in der Ebene, im Anschluss geht es um die Lagebeziehungen im Raum. Hier geht es zu Lagebeziehungen von Ebenen.

Warum ist uns wichtig, wie Geraden zueinander liegen? Wir werden sehen, dass eine Anwendung die linearen Gleichungssysteme sind. Wiederholt hier das Lösen dieser Systeme.

Einige geometrische Gedanken

Kurz überlegt gibt es drei Möglichkeiten, wie wir zwei Geraden in der Ebene anordnen können. Sie können sich kreuzen, parallel liegen, oder übereinander, also identisch.

ebenen 2

Erkennen wir dies zwei Geraden auf den ersten Blick an? Einiges schon. Sind die Geraden \(f\) und \(g\) parallel oder identisch, dann haben sie

das gleiche \(k\)
den gleichen Richtungsvektor \(\vec v\)
den gleichen Normalvektor \(\vec n\)

je nachdem, welche Geradenform wir vor uns haben. Mehr zu den Geradenformen findet ihr hier. In der expliziten Darstellung \(y=kx+d\) erkennen wir natürlich auch, wenn zwei Geraden identisch sind, in den anderen Formen nicht unbedingt, wie wir sehen werden. Aber mehr dazu im kommenden Abschnitt.

Die algebraische Überlegung

Wir starten unsere Überlegung mit zwei Geraden \(h\) und \(g\) in der allgemeinen Form
\begin{align*}
& h: & ax+by=c\\
& g: & dx+ey=f
\end{align*}
mit \(a,\cdots , f\in\mathbb{R}\). Jeder Punkt der Gerade \(h\) erfüllt die Geradengleichung \(ax+by=c\), und jeder Punkt der Gerade \(g\) erfüllt \(dx+ey=f\). Ein Schnittpunkt \(S\) erfüllt demnach beide Geradengleichungen, er ist also die Lösung des linearen Gleichungssystems
\begin{align*}
& I: & ax+by=c\\
& II: & dx+ey=f.
\end{align*}

Wir wissen bereits aus unseren Erfahrungen mit linearen Gleichungssystemen (hier), dass ein Gleichungssystem keine, eine oder zwei Lösungen haben kann. Nun haben wir eine geometrische Interpretation zu den Lösungsfallen über die Lagebeziehung der Geraden erhalten! Haben zwei Geraden einen Schnittpunkt, erfüllt also ein Punkt \(P=(x;y)\) beide Geradengleichungen \(h\) und \(g\), erfüllt demnach diese Lösung \(P=(x;y)\) beide Gleichungen und ist somit Lösung des Gleichungssystems.

Analog stellen wir Überlegungen für parallele und identische Geraden an. Sind zwei Geraden \(h\) und \(g\) parallel, liegt kein Punkt der Ebene auf beiden Geraden, da sie sich nicht schneiden. Kein Punkt erfüllt also beide Geradengleichungen und damit kann es auch keine Lösung geben. Sind die geraden identisch, ist logischerweise jeder Punkt der Gerade \(h\) auch ein Punkt der Geraden \(g\). Da die Gerade aus unendlich vielen Punkten besteht, hat das Gleichungssystem auch unendlich viele Lösungen.

Die Beispiele findet ihr nach den Geraden im Raum

Geraden im Raum, die geometrische Überlegung

Treffen wir die selben Überlegungen von zuvor bezüglich den Geraden in der Ebene,

ebenen 1

und geogebradatei selber Name

dann erkennen wir, dass sich zu schneidend, parallel und identisch ein vierter Fall dazu gesellt hat. Die zwei Geraden schneiden sich nicht aber sind auch nicht parallel. Wir nennen zwei solche Geraden windschief. Wir haben bereits gelernt, dass wir Geraden im Raum nur in der Vektorform \(\vec X=\vec A+s\cdot \vec v\) darstellen können. Können wir jedoch ähnlich zu Geraden in der Ebene schnell erkennen, welcher Fall vorliegt? Es geht leider nicht ganz so schnell.

Geraden im Raum, die Fallunterscheidung
An zwei Geraden \(f\) und \(g\) im Raum in Vektorform, also
\begin{align*}
f: \vec X=\vec A+s\cdot v,\quad g: \vec X=\vec B+r\cdot u
\end{align*}
kann man mit Hilfe der Richtungsvektoren \(\vec v\) und \(\vec u\) sofort feststellen, ob die Geraden parallele Richtungsvektoren haben, also parallel oder identisch sind. Nehmen wir an, dies wäre der Fall und es gelte, dass die Richtungsvektoren parallel seien. Eine einfache geometrische Überlegung bringt uns dann zum Ziel. Sind die Geraden identisch, dann liegt \(B\) auf \(f\) (und natürlich umgekehrt \(A\) auf \(g\)).

ebenen 1

Der Einfachheit halber reduzierten wir uns auf eine zweidimensionale Zeichnung, \(f\) und \(g\) liegen in grün und rot gestrichelt übereinander. Der Aufpunkt \(B\) von \(g\) liegt daher ebenfalls auf \(f\).

Wir müssen also überprüfen, ob \(B\) die Geradengleichung \(f\) erfüllt
\begin{align*}
\vec B=\vec A+s\cdot v.
\end{align*}

Dies entscheidet, ob die Geraden parallel sind oder identisch.

Was nun, wenn die Richtungsvektoren \(\vec v\) und \(\vec u\) nicht parallel sind? Dann schneiden sich die Geraden oder sie sind windschief. Hier schneidet man am besten die Geraden indem man die Geraden gleichsetzt und schaut, ob ein Schnittpunkt existiert.

\begin{align*}
\vec A+s\cdot v = \vec B+r\cdot u
\end{align*}

Das ist ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten \(r\) und \(s\). Hat das Gleichungssystem eine Lösung, dann ist dies der Schnittpunkt! Alles zu theoretisch? Noch einmal zusammenfassend und dann schaut euch die Beispiele an!

Schritt 1: Haben die Geraden parallele Richtungsvektoren? Wenn Ja, dann sind sie parallel oder identisch? Wenn Nein, sind sie windschief oder schneidend!
Schritt 2a: Sind die Richtungsvektoren parallel, setzt ihr den Aufpunkt der einen Gerade in die andere Geradengleichung ein. Liegt der Punkt auf der Geraden, sind sie identisch! Ansonsten parallel.
Schritt 2b: Sind die Richtungsvektoren nicht parallel, schneidet ihr das Gleichungssystem. Erhaltet ihr eine lösung, dann ist dies der Schnittpunkt. Ansonsten sind sie windschief.

Beispiele in der Ebene

Gleichungssysteme mit Lösung: Gegeben ist das Gleichungssystem
\begin{align*}
&I:\quad y=2-x\\
&II: \quad 2x- y=c
\end{align*}
in Abhängigkeit des Parameters \(c\). Erklären Sie mit eigenen Worten, dass das Gleichungssystem für alle \(c\) eine Lösung hat.

Lösung

Dazu dürfem die dazugehörigen Geraden nicht parallel sein! Bringen wir die zwei Geraden in die explizite Form
\begin{align*}
&I:\quad y=2-x\\
&II: \quad y=2x-c
\end{align*}
sehen wir, dass \(k_I=-1\) und \(k_{II}=2\) gilt, die Geraden sind also niemals parallel, egal wie wir \(c\) wählen. Tatsächlich verändert \(c\) nur den \(y\)-Abschnitt, jedoch nicht die Steigung. Die folgende Geogebradatei visualisiert dies.

lagebeziehungen_4.ggb

Gleichungssysteme ohne Lösung: Gegeben ist das Gleichungssystem
\begin{align*}
&I:\quad y=2-x\\
&II:\quad 2x-a\cdot y=5
\end{align*}
in Abhängigkeit des Parameters \(a\). Für welche(s) \(a\) hat das System keine Lösung?

Lösung

Lösung: Es gibt viele Lösungen, Gleichung \(I\) hat als Gerade betrachtet den Normalvektor \((1;1)\) (da äquivalent \(x+y=2\)). Gleichung \(II\) hingegen \((2;-a)\). Wählen wir nun \(a=-2\), so sind die entsprechenden Normalvektoren parallel, da
\begin{align*}
n_{II}=(2;-(-2))=(2;2)=2\cdot (1;1)=2\cdot n_I.
\end{align*}

Die folgende Geogebradatei visualisiert dies.

lagebeziehungen_5.ggb

Beispiele im Raum

Lagebeziehung im Raum 1: Gegeben sind die zwei Geraden
\begin{align*}
g: \vec X=\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
+s\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{pmatrix},\quad f: \vec X=\begin{pmatrix}
3 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}
-2 \\ 2 \\ -4
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Bestimmen Sie die Lagebeziehung im Raum.

Lösung

Lösung: Auf den ersten Blick erkennt man, dass die Richtungsvektoren \(\vec v_g\) und \(\vec v_f\) parallel sind, denn
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
-2 \\ 2 \\ -4
\end{pmatrix}=(-2)\cdot\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Daher sind die Geraden identisch oder parallel. Wir setzen daher den Aufpunkt \(\vec A_g\) in \(f\) ein.
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}
-2 \\ 2 \\ -4
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Dies führt uns auf das Gleichungssystem
\begin{align*}
& I:\quad 1=3-2t
& II:\quad 2=2+2t
& III:\quad 0=1-4t
\end{align*}
Wir erhalten
\begin{align*}
& I:\quad t=1
& II:\quad t=0
& III:\quad t=\frac{1}{4},
\end{align*}
wir finden daher kein \(t\), für das \(\vec{A}_g=(1;2;0)\) auf \(f\) liegt, die Geraden sind daher parallel.

lagebeziehungen 6

Lagebeziehungen im Raum 2: Gegeben sind die zwei Geraden

\begin{align*}
g: \vec X=\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
+s\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{pmatrix},\quad f: \vec X=\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 2
\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Bestimmen Sie die Lagebeziehung im Raum.

Lösung

Offensichtlich sind die zwei Richtungsvektoren \(\vec{v}_g=(1;-1;2)\) und \(\vec{v}_f=(1;2;0)\) nicht parallel, ganz deutlich an der \(z\)-Koordinate erkennbar. Die Geraden sind daher nicht parallel oder ident. Im Schritt 2b schneiden wir also die zwei Geraden indem wir die Geraden gleichsetzen:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
+s\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 2
\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Dies führt uns auf das Gleichungssystem
\begin{align*}
& I:\quad 1+1s=2+1t
& II:\quad 2-1s=1+2t
& III:\quad 0+2s=2+0t.
\end{align*}
Dieses Gleichungssystem hat die Lösung \(s=1\) und \(t=0\). \(s\) eingesetzt in \(g\) (oder \(t\) in \(f\)) ergibt den Schnittpunkt \((2;1;2)\).

lagebeziehungen 7
Wie wir am Ergebnis \(t=0\) erkennen können, schneiden sich die Geraden genau im Aufpunkt \(B\) der Gerade \(f\).

 

Mehr zum Lösen von Gleichungssystemen mit mehreren Unbekannten und mehreren Gleichungen findet ihr hier: