Inhalt:
Vorbemerkung
Die Definition
Endlichdimensionale Vektorräume
Basis, Erzeugendensystem und Dimension

Vorbemerkung

In diesem und diesem Abschnitt (Link) führen wir die grundlegenden Begriffe eines (endlich)-dimensionalen Vektorraums ein. Wir versuchen, die üblichen Begriffe, welche in einer linearen Algebra Vorlesung besprochen werden, kurz anzureissen und in Zusammenhang zu stellen. Hier werden die grundlegenden Eigenschaften definiert.

Der "einfachste" Vektorraum, den ihr bereits kennt, ist der Vektorraum \(\mathbb{R}^2\) der Vektoren in der Ebene (oder der Vektoren im Raum). Einige grundlegende, für uns völlig selbstverständliche Eigenschaften zu Beginn, die Summe zweier Vektoren war wieder ein Vektor, man nennt dies Abgeschlossenheit bezüglich der Addition. Wir konnten Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^2\) stauchen und strecken, es gab also eine sogenannte skalare Multiplikation. Zu jedem Vektor \(\vec v\) gab es einen Gegenvektor \(-\vec{v}\) und selbstverständlich, für uns, galt \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\). All diese Eigenschaften sollen in allen Vektorräumen gelten. Die Theorie der Vektorräume möchte diese, für uns, natürlichen Strukturen auf andere Gebilde übertragen. Andere Vekorräume besitzen aber nicht die klassischen Vektoren, daher verzichten wir auf Vektorpfeile. Elemente des Vektorraums bezeichnen wir nur mit \(u,v,w,\dots\) und Elemente des Körpers \(K\) mit griechischen Buchstaben.

Die Definition

Eine Menge \(V\) wird Vektorraum über einem Körper \(K\) genannt, wenn sie die folgende Axiome bezgülich Vektoraddition \(\oplus\) und Multiplikation mit einem Skalar \(\odot\) erfüllt

\(u+v\in V\), der Vektorraum muss bezüglich der Addition abgeschlossen sein.
\(u \oplus (v \oplus w) = (u \oplus v ) \oplus w\), für die Addition gilt das Assoziativgesetz
Es existiert ein neutrales Element der Addition, also \(0 \in V\) mit \(v \oplus 0 = 0 \oplus v = v\)
Es existiert für jedes \(v \in V\) ein inverses Element \(-v \in V\) mit \(v \oplus (-v) = (-v) \oplus v = 0_V\)
\(v \oplus u = u \oplus v\), die Vektoraddition ist kommutativ
\(\alpha \odot v\in V\), der Vektorraum muss bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen sein.
\(\alpha \odot (u \oplus v) = (\alpha \odot u) \oplus (\alpha \odot v)\), das erste Distributivgesetz bezüglich \(\oplus\) in \(V\)
\((\alpha + \beta) \odot v = (\alpha \odot v) \oplus (\beta \odot v\), das zweite Distributivgesetz bezüglich \(+\) in \(K\)
\( (\alpha \cdot \beta) \odot v = \alpha \odot (\beta \odot v)\), das Assoziativgesetz
Es existiert ein neutrales Element der \(1 \in K\), also \( 1 \odot v = v\)

für alle \(u, v, w \in V\) und \(\alpha, \beta \in K\) erfüllt sind. Die reellen Zahlen sind ein Vektorraum, ebenso die Ebene \(R^2\) oder die komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\). Dies alles sind endliche Vektorräume. Ein unedlich dimensionaler Vektorraum wäre der Raum der auf \([0;1]\) stetigen Funktionen, diesen bezeichnet man üblicherweise als \(C[0;1]\) und wir werden dieses Beispiel später durchgehen. Die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) sind kein Vektorraum, es existiert zum Beispiel kein inverses Element. Wir werden einige weitere Beispiele sehen.

Endlichdimensionale Vektorräume

Endlichdimensionale Vektorräume spielen zu Beginn der Mathematikvorlesungen eine wichtige Rolle. Die berühmtesten Beispiele sind der \(\mathbb{R}^2\) und der \(\mathbb{R}^3\). Natürlich kann das verallgemeinert werden. Dazu benötigen wir einen Körper \(K\), meist \(\mathbb{R}\) (oder auch \(\mathbb{C}\)), dann betrachten wir die Menge
\begin{align*}
K^n=\{ (v_1,\dots , v_n) \vert v_i\in K\},
\end{align*}
diese können wir mit der komponentenweise Addition \(+\) und der aus \(K\) existierenden skalaraen Multilikation \(\cdot\) ausstatten, also
\begin{align*}
(v_1,\dots , v_n)+(u_1,\dots , u_n)=(v_1+u_1,\dots , v_n+u_n), \alpha\cdot (v_1,\dots , v_n)=(\alpha\cdot v_1,\dots , \alpha\cdot v_n).
\end{align*}
Mit \(K=\mathbb{R}\) und \(n=2\) erhalten wir zum Beispiel den \(\mathbb{R}^2\). Das sind die "häufigsten" Vektorräume.

Eine weitere Möglichkeit ist der Raum der \(n\times m\)-Matrizen bezüglich der komponentenweise Addition über dem Körper \(\mathbb{R}\):
\begin{align*}
A+B=
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nm}\\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n1} & \cdots & b_{nm}\\
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1m}+b_{1m}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1}++b_{n1} & \cdots & a_{nm}+b_{nm}\\
\end{pmatrix}
\end{align*}


wobei die skalare Multiplikation \(\alpha A\) analog definiert wird. Natürlich verhält sich dieser Raum sehr ähnlich zum \(\mathbb{R}^{n\cdot m}\). Man kann zeigen, dass diese zwei Räume isomorph sind, umgangssprachlich "gleich".

Der Raum der endlichen Polynome vom Grad kleiner gleich vier ist ein Vektorraum, dabei ist vier eine beliebige Zahl. Müssen wir dazu viel rechnen? Nein, besprechen wir einige Eigenschaften. Die Summe zweier Polynome vom Grad vier ist immer noch Grad vier (Abgeschlossenheit bezüglich \(+\)). Multiplizieren wir ein Polynom mit einem Skalar, bleibt der Grad erhalten (Abgeschlossenheit bezüglich \(\cdot\)). Zu einem Polynom
\begin{align*}
a_4x^4+\cdots +a_1x+a_0
\end{align*}
finden wir ein inverses Polynom
\begin{align*}
-a_4x^4-\cdots -a_1x-a_0,
\end{align*}
(Existenz des inversen Elements, die \(0\)-Funktion ist das neutrale Element der Addition und so weiter.

Das ganze schlägt fehl für die Menge der Polynome vom Grad genau 4. Denn es gilt zum Beispiel
\begin{align*}
p_1(x)=x^4+x^3, p_2(x)=x^4,\\
\Rightarrow p_1(x)-p_2(x)=x^3,
\end{align*}
dies ist kein Polynom vierten Grades mehr. Wir sind bezüglich der Addition/Subtraktion nicht abgeschlossen!

Die ähnlichen Gedanken machen wir nun für den \(C[0,1]\), den Raum der stetigen Funktionen von \([0,1]\) nach \(\mathbb{R}\):

Die Summe zweier stetiger Funktionen \(f\) und \(g\) ist stetig
\(f + (g+h) = (f+g) +h\) gilt natürlich auch
Die \(0\)-Funktion ist das neutrale Element der Addition und in \(C[0;1]\), da stetig
Zu \(f\) ist \(-f\) die inverse Funktion
\(f+g=g+f\)!
\(\alpha f\) ist natürlich auch noch eine stetige Funktion
Ebenso gelten Distributivgesetze und das Assoziativgesetz
\(1\) ist das neutrale Element der Multiplikation, \(1\cdot f=f\)

Basis, Erzeugendensystem und Dimension

Man sagt, der \(\mathbb{R}^2\) wird von \(x\)- und \(y\)-Achse aufgespannt. In der linearen Algebra gibt es den Begriff der Basisvektoren und des Erzeugendensystems. So lässt sich im \(\mathbb{R}^3\), an dem wir die Begriffe nun motivieren, jeder Vektor aus den drei (sogenannten) Standardbasisvektoren
\begin{align*}
e_1=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix},
e_2=\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix},
e_3=\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{align*}


darstellen/erzeugen. Zum Beispiel ist \(v=(2;3;5)\) darstellbar/erzeugbar über
\begin{align*}
2e_1+3e_2+5e_3.
\end{align*}

Es gibt jedoch auch andere Erzeugendensysteme/Basen. Wo ist der Unterschid zwischen Erzeugendensystem und Basis? Wir nennen die drei Vektoren \(e_1,e_2,e_3\) eine Basis. Eine Basis muss das folgende erfüllen: Jedes Element von \(V\) muss durch eine Linearkombination der Basisvektoren darstellbar sein und diese Darstellung muss eindeutig sein. Vielleicht habt ihr eine andere Regel gelernt, es gibt einige äquivalente Ausdrücke und wir besprechen dies enoch kurz.
Die Basis ist eine maximal linear unabhängige Teilmenge von \(V\).
Die Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem \(V\).
Die Basis ist ein minimales Erzeugendensystem von \(V\).

Betrachten wir nun das Erzeugendensystem
\begin{align*}
e_1=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix},
e_2=\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix},
e_3=\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix},
v_1=\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Wir haben also einen vierten Vektor dazugenommen. Gehen wir nun die vier äquivalenten Eigenschaften durch. Sie stellen ein Erzeugendensystem dar, denn jeder Vektor des \(\mathbb R^3\) kann durch sie dargestellt werden (es haben ja schon \(e_1\) bis \(e_3\) ausgereicht). Die vier Vektoren sind aber nicht linear unabhängig, denn es gilt zum Beispiel
\begin{align*}
e_1+e_2+e_3=v_1.
\end{align*}
Daher ist auch die Darstellung des Erzeugendensystems nicht eindeutig, es gilt für \(v=(2;3;5)\)
\begin{align*}
v=2e_1+3e_2+5e_3=2v_1+e_2+3e_3
\end{align*}
(es gibt sogar unendlich viele Darstellungsweisen).

Schmeissen wir einen beliebigen der vier Vektoren aus unserem Erzeugendensystem, erhalten wir wieder eine Basis/eine maximal linear unabhängige Teilmenge/ein linear unabhängiges Erzeugendensystem/ein minimales Erzeugendensystem. Ein Erzeugendensystem ist demnach eine Menge an Vektoren, die den Vektorraum aufspannen, aber gewissermaßen zu viel sind. Schmeissen wir einige Vektoren raus, erhalten wir die Basis.

Man sagt dann, dass ein endlicher Vektorraum die Dimension \(n\) hat, wenn es eine Basis aus \(n\) Elementen gibt. Existiert in \(V\) eine Basis mit \(n\) Elementen, so muss jede andere Basis auch \(n\) Elemente besitzen.

Eine Basis unserer Polynome vierten Grades ist gegeben durch \(B=\{ 1,x,x^2,x^3,x^4\}\), dieser Vektorraum hat also Dimension 5.

Am liebsten ist uns eine sogenannte Orthonormalbasis, das ist eine Basis, deren Vektoren die Norm 1 haben und orthogonal zu uns stehen. Wie man Norm und orthogonalität in Vektorräumen wie den \(C[0;1]\) definiert, findet ihr hier (link).