Inhalt:
»Vorbemerkung
»Die Norm
»Die Metrik
»Das Skalarprodukt
»Zusammenhänge
»Beispiele

Vorbemerkung

In diesem und diesem Abschnitt (Link) führen wir die grundlegenden Begriffe eines (endlich) dimensionalen Vektorraums ein. Wir versuchen, die üblichen Begriffe, welche in einer linearen Algebra Vorlesung besprochen werden, kurz anzureissen und in Zusammenhang zu stellen. Hier geht es um wichtige Operatoren, die man auf einem Vektorraum definieren kann.

Die Norm

Wir kennen in den reellen Zahlen die Betragsfunktion. Sie gibt, so umgangssprachlich bereits im frühen Schulalter eingeführt, den Abstand der Zahl \(a\) von der 0 auf dem Zahlenstrahl an. Später verwenden wir die Schreibweise \(|x|\) auch für Vektoren, indem wir \(|\vec x |\) die Länge des Vektors \(\vec x\) zuordnen. Diese Begriffe kann man verallgemeinern. Eine Norm ist eine Abbildung/Funktion von einem reellen oder komplexen Vektorraum \(V\) in die positiven reellen Zahlen \(\mathbb{R}^{\geq 0}\)
\begin{align*}
& || .|| :V\rightarrow \mathbb{R}^{\geq 0}, x\mapsto || x||
\end{align*}
mit den Eigenschaften, dass für alle \(x,y\in V\) und \(s\in \mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\)

-\(|| x|| =0\Rightarrow x=0\),
-\(|| x+y|| \leq ||x||+|| y||\),
-\(|| s\cdot x|| = |s|\cdot || x||\).

Dabei nennen wir die erste Eigenschaft Definitheit, die zweite Dreiecksungleichung und die dritte Homogenität.

Alle drei Eigenschaften erfüllen Betrag einer Zahl und Länge eines Vektors. Was wäre eine Norm für den \(C[0,1]\), die Menge der Stetigen Funktionen von \([0,1]\) nach \(\mathbb{R}\)? Eine wichtige Norm wäre die Maximumsnorm. Der Satz von Weierstrass garantiert uns, dass jede stetige Funktion in einem abgeschlossenen Intervall ihr Maximum und Minimum einnimmt. Wir definieren
\begin{align*}
& || .|| :C[0;1]\rightarrow \mathbb{R}^{\geq 0}, x\mapsto || x||_{[0,1]},
\end{align*}

Dabei ist \(||x||_{[0,1]}\) das Maximum, dass die Funktion \(x\) auf \([0,1]\) annimmt.
Gerne wird diese Norm auch mit \(|| . ||_{\infty}\) abgekürzt, wenn die Maximumsnorm auf \(\mathbb{R}\) gemeint ist.

Die Metrik

Eine Metrik ist eine Abbildung von zwei Elementen eines Vektorraumes \(V\) nach \(\mathbb{R}^{\geq 0}\)
\begin{align*}
 d :V\times V \rightarrow \mathbb{R}^{\geq 0}, x,y\mapsto d(x,y)\\
\end{align*}
die folgende Eigenschaften erfüllt

\(d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\)
\(d(x,y)=d(y,x)\)
\(d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\)

Dabei nennen wir die erste Eigenschaft positive Definitheit, die zweite Symmetrie und die dritte Dreiecksungleichung.

Der Abstand zweier Vektoren \(u\) und \(v\) im \(\mathbb{R}^2\) ist gegeben durch
\begin{align*}
d(u,v)=\sqrt{(x_v-x_u)^2+(y_v-y_u)^2}.
\end{align*}
Symmetrie und positive Definitheit sind einfach zu zeigen, für die Dreiecksungleichung quadriert man beide Seiten (sie sind positiv)
\begin{align*}
d(u,v)\leq d(u,w)+d(v,w)
\end{align*}
und sortiert
\begin{align*}
(x_v-x_u)^2+(y_v-y_u)^2\leq (x_w-x_u)^2+(y_w-y_u)^2+(x_w-x_v)^2+(y_w-y_v)^2, \\
\end{align*}
vereinfacht man diese Ungleichung mit Hilfe der binomischen Formel, sieht man, dass tatsächlich eine Metrik vorliegt.

Das innere Produkt/Skalarprodukt

Das Skalarprodukt allgemein ist die Verallgemeinerung des Skalarproduktes in Ebene und Raum. Mit Hilfe dessen hatten wir Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet, es wurde oft mit \(\vec v\cdot \vec u\) abgekürzt. Von nun an bezeichnen wir ein Skalarprodukt aber konsequent als \(<v,u>\). Kommen wir zur Definition.
Sei \(V\) ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt ist dann eine positiv definite symmetrische Billinearform von \(V\times V\) nach \(\mathbb{R}\). Das bedeutet im Detail,
\begin{align*}
<.,.>:V\times V\rightarrow \mathbb{R},
\end{align*}
welches die folgende Eigenschaften erfüllt
\(<\alpha\cdot x+y,z>=\alpha\cdot <x,z>+<y,z>\) und \(<x,\alpha\cdot y+z="">=\alpha\cdot <x,y>+<x,z>\)
\(<x,y>=<y,x>\)
\(<x,x>\geq 0\) und \(<x,x>= 0\) bedeutet, dass \(x=0\) gilt.
Die erste Eigenschaft bedeutet, es ist linear in beiden Argumenten. Die zweite, dass das Skalarprodukt symmetrisch ist, und die dritte, dass es positiv Definit ist.

Zusammenhänge

Wir können locker gesagt behaupten, dass eine Norm die Größe eines Elements in einem Vektorraum angibt. Eine Norm kann aus einem inneren Produkt abgeleitet werden, muss aber nicht. Wir erhalten die Norm dann über
\begin{align*}
\sqrt{<x,x>}=||x || .
\end{align*}

Weiters gesagt definiert eine Metrik Abstände zwischen Elementen des Vektorraumes. Man kann sehr einfach über eine existierende Norm eine Metrik definieren, und zwar mit
\begin{align*}
d(x,y)=|| x-y|| .
\end{align*}
So ist der Abstand von zwei Vektoren \(u\) und \(v\) induziert aus der Länge des Vektors! Es gilt schließlich
\begin{align*}
d(u,v)=||v-u || .
\end{align*}

Das innere Produkt stellt quasi eine Geometrie im Vektorraum her, wir können dadurch definieren, welche Vektoren orthogonal, und welche parallel zueinander sind.

Beispiele

Keine Norm: Zeigen Sie, dass die Abbbildung
\begin{align*}
||.|| : C[0;1]\rightarrow \mathbb{R}^{\geq 0}, f\mapsto | \int_0^1 f(x)dx|
\end{align*}
keine Norm auf \(C[0;1]\) ist.

Lösung

Diese Funktion muss eine der drei Eigenschaften einer Norm brechen. Am einfachsten findet man ein Element, dessen Norm 0 ist, es selbst ist aber nicht die Nullfunktion. Dazu erinnern wir uns, dass sich positive und negative Fläche aufheben können. Wählen wir zum Beispiel \(f(x)=\cos (2\pi x)\)

ebenen 1

so werden sich negative und positive Flächen aufheben. Rechnen wir nach
\begin{align*}
|\int_0^1\cos (2\pi x)dx| = | \frac{1}{2\pi}\sin (2\pi x)\vert_0^1 | =| 0| =0
\end{align*}
und daher kann keine Norm vorliegen.

Skalarprodukt: Zeigen Sie, dass \(<f,g>=\int_0^1 f(x)g(x)dx\) ein inneres Produkt bildet für den \(C[0;1]\).

Lösung

Offensichtlich gilt \(<f,g>=\int_0^1 f(x)g(x)dx =\int_0^1 g(x)f(x)dx=<g,f>\), es gilt also Symmetrie. Da in \(C[0;1]\) das Distributivgesetz et cetera gilt, gilt es auch innerhalb des Integralzeichens und wir haben die Linearität, als Beispiel
\begin{align*}
<\alpha\cdot f+g,h>=\int_0^1 (\alpha f(x)+g(x))\cdot h(x)dx= \alpha \int_0^1 f(x)\cdot h(x)dx+\int_0^1 g(x)\cdot h(x)dx=\alpha <f,h>+<g,h>.
\end{align*}
Auch gilt die positive Definitheit, denn es gilt
\begin{align*}
<f,f>=\int_0^1 f(x)f(x)dx =\int_0^1 f(x)^2dx >0
\end{align*}
da die Funktion \(f^2\) positiv ist, muss auch die Fläche im Intervall \([0;1]\) positiv sein.
Wir haben also ein Skalarprodukt!

Orthogonale Funktionen: Zeigen Sie, dass die Funktionen \(\cos (2x)\) und \(\cos (4x)\) mit gerade eingeführten Skalarprodukt orthogonal sind.

Lösung

Lösung: Das einzige, was wir überprüfen müssen, ist, dass
\begin{align*}
\int_0^1 \cos (2\pi x)\cdot \cos (4\pi x)dx=0
\end{align*}
gilt, was auch tatsächlich stimmt, wie man mit partieller Integration nachrechnen kann. Stattdessen geben wir euch eine geometrische Lösung in der wir genau erkennen können, wie sich die Flächen aufheben:

ebenen 2