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Matrizen begegnen uns in unzähligen Anwendungen, mal ganz praktisch, mal theoretisch. Hier geht es um die Definition der Matrizen und die grundlegenden Rechnenregeln.

Definition

Eine formale Definition wird oftmals nicht gegeben, eine Matrix ist grundsätzlich eine rechteckige Anordnung von Elementen, wobei diese Elemente üblicherweise aus \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) sein werden. Meist werden wir eine Matrix also über einem Körper \(K\) betrachten. Dann schreibt man auch \(\mathbb K^{n\times m}\). Die Menge der \((n\times m)\)-Matrizen mit Matrixaddition und skalarer Multiplikation werden einen Vektorraum (Link) bilden. Dieser Vektorraum ist endlich und hat Dimension \((n\times m)\). Dabei hat diese Matrix \(n\) Zeilen und \(m\) Spalten (Merkregel: zuerst Zeilen, später Spalten). Wir schreiben eine Matrix \(A\) mit Elementen \(a_{ij}\) dann wie folgt auf
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \\
\end{pmatrix}=(a_{ij}).
\end{align*}

 

Der Index gibt dabei die Position in der Matrix an. In manchen Kontexten werden statt Runden auch eckige Klammern verwendet. Wir bezeichnen Matrizen immer mit Großbuchstaben \(A\) oder \((a_{ij})\). Wir verweisen auch darauf, dass ein Vektor des \(\mathbb{R}^n\) auch als \((n\times 1)\)-Matrix angesehen werden kann.

Vektoraddition und skalare Multiplikation

Wie addiert man Matrizen, wie multipliziert man sie mit einem Skalar? Die Antwort ist, ähnlich wie im \(\mathbb{R}^n\), komponentenweise. Wichtig ist, dass beide Matrizen für diese Definition die selbe Dimension besitzen müssen, also \(A,B\in \mathbb{R}^{n\times m}\). Dann können wir definieren
\begin{align*}
A + B = ( a_{ij} + b_{ij} ) = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1m} + b_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} + b_{n1} & \cdots & a_{nm} + b_{nm} \end{pmatrix}
\end{align*}

Analog definieren wir die skalare Multiplikation mit einem Skalar \(\alpha \in\mathbb{R}\) und einer Matrix \(A\in \mathbb{R}^{n\times m}\) wie folgt
\begin{align*}
\alpha \cdot A = \alpha \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \cdot a_{11} & \ldots & \alpha \cdot a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha \cdot a_{m1} & \ldots & \alpha \cdot a_{mn} \end{pmatrix}.
\end{align*}


Schauen wir uns einige Beispiele an, zuerst die Summe zweier \((3\times 3)\)-Matrizen:
\begin{align*}
A=\left(
\begin{array}{ccc}
-5 & 2 & 7 \\
8 & -6 & 7 \\
-6 & 2 & 5 \\
\end{array}
\right), B=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -7 & 8 \\
1 & -3 & 8 \\
-8 & -8 & -9 \\
\end{array}
\right),\\
A+B=\left(
\begin{array}{ccc}
-4 & -5 & 15 \\
9 & -9 & 15 \\
-14 & -6 & -4 \\
\end{array}
\right).
\end{align*}

 


Nun, abgekürzt, die Summe zweier \((2\times 2)\)-Matrizen:
\begin{align*}
\left(
\begin{array}{cc}
-2 & 0 \\
-5 & 8 \\
\end{array}
\right)+\left(
\begin{array}{cc}
-7 & -1 \\
-7 & -2 \\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
-9 & -1 \\
-12 & 6 \\
\end{array}
\right).
\end{align*}

Diese Matrizen waren alle quadratisch, betrachten wir zwei \((2\times 3)\)-Matrizen
\begin{align*}
\left(
\begin{array}{ccc}
-9 & -2 & 2 \\
-1 & -5 & -4 \\
\end{array}
\right)+\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -5 & 6 \\
6 & -5 & -9 \\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{ccc}
-9 & -7 & 8 \\
5 & -10 & -13 \\
\end{array}
\right).
\end{align*}
Nun strecken und stauchen wir die Matrizen \(A\) und \(B\) noch mit den Faktoren \(2\) und \(\frac{1}{2}\).
\begin{align*}
2\cdot A=\left(
\begin{array}{ccc}
16 & 14 & 4 \\
-10 & 12 & -16 \\
-12 & 18 & -10 \\
\end{array}
\right) \\
2\cdot B= \left(
\begin{array}{ccc}
-18 & -4 & 10 \\
-6 & 6 & 12 \\
10 & 8 & 8 \\
\end{array}
\right)\\
\frac{1}{2} \cdot A=\left(
\begin{array}{ccc}
4 & \frac{7}{2} & 1 \\
-\frac{5}{2} & 3 & -4 \\
-3 & \frac{9}{2} & -\frac{5}{2} \\
\end{array}
\right) \\
\frac{1}{2} \cdot B=\left(
\begin{array}{ccc}
-\frac{9}{2} & -1 & \frac{5}{2} \\
-\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 3 \\
\frac{5}{2} & 2 & 2 \\
\end{array}
\right)
\end{align*}

 

 

 

Matrixmultiplikation

Ähnlich wie bei den Vektoren des \(\mathbb{R}^n\) lässt sich eine Matrixmultiplikation nicht ohne weiteres definieren. Zwei Matrizen \(A\) und \(B\) müssen (oftmals auch können) nicht aus dem selben Vektorraum \(\mathbb{R}^{n\times m}\) sein. Jedoch muss beim Produkt von \(A\cdot B\) die Spaltendimension der \((n\times m)\) Matrix \(A\) übereinstimmen mit der Zeilendimension von \(B\), also \((m\times o)\) gilt. Wir erhalten dann eine \((n\times o)\)-Matrix \(C\)
\begin{align*}
A \cdot B &= C\\
n\times m \cdot m\times o &= n\times o\\
\end{align*}

Wie sehen die Einträge aus? Wichtig, wir multiplizieren nicht komponentenweise. Es gilt für die Einträge \(c_{ik}\) der Matrix \(C\)
\begin{align*}
c_{ik} = \sum_{j=1}^m a_{ij} \cdot b_{jk}.
\end{align*}
Das wirkt sehr kompliziert. Eine angenehme Merkregel ist das falksche Schema, benannt nach dem deutschen Ingenieur Sigurd Falk, welches die als Formel sehr abstrakt wirkende Definition sehr erleichtert. Geometrisch sieht sie wie folgt aus:

IMG

Wir rechnen sie an einem Beispiel durch:
\begin{align*}
A=\left(
\begin{array}{ccc}
-3 & 0 & -2 \\
2 & -1 & 0 \\
\end{array}
\right), B=\left(
\begin{array}{cc}
3 & -3 \\
-4 & -2 \\
0 & -3 \\
\end{array}
\right)
\end{align*}
und ordnen geschickt an
\begin{align*}
& & \left(
\begin{array}{cc}
3 & -3 \\
-4 & -2 \\
0 & -3 \\
\end{array}
\right)
A\cdot B= & \left(
\begin{array}{ccc}
-3 & 0 & -2 \\
2 & -1 & 0 \\
\end{array}
\right) & =\left(
\begin{array}{cc}
3\cdot (-3)+(-4)\cdot 0+0\cdot (-2) & -3\cdot 3+0\cdot (-4)+0\cdot (-2) \\
3\cdot 2+(-1)(-4)+0\cdot 0 & -4 \\
\end{array}
\right)
\end{align*}

und verweisen auch auf die tolle Erklärung in der Wikipedia ( https://de.wikipedia.org/wiki/Falksches_Schema )

Beispiele

Nach den vielen Beispielen zu Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar, hier nun Beispiele zur Matrixmultiplikation. Mulitpliziere jeweils die Matrizen \(A\) und \(B\), also \(A\cdot B\) achte auf die Dimensionen! Multipliziere auch \(B\cdot A\).

Aufgabe 1:
\begin{align*}
A=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -3 & -3 \\
1 & 2 & 2 \\
-3 & 1 & -2 \\
-1 & 2 & 3 \\
\end{array}
\right), B= \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 4 & 3 & 1 \\
1 & -2 & -4 & 2 \\
0 & -2 & 4 & -2 \\
\end{array}
\right)
\end{align*}

 

Lösung

Die Dimensionen passen in beiden Fällen:
\begin{align*}
A\cdot B=\left(
\begin{array}{cccc}
-3 & 12 & 0 & 0 \\
3 & -4 & 3 & 1 \\
-2 & -10 & -21 & 3 \\
1 & -14 & 1 & -3 \\
\end{array}
\right), B\cdot A=\left(
\begin{array}{ccc}
-6 & 10 & 2 \\
8 & -7 & 7 \\
-12 & -4 & -18 \\
\end{array}
\right)
\end{align*}

Aufgabe 2:
\begin{align*}
A=\left(
\begin{array}{ccc}
-2 & 3 & -3 \\
-1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & -3 & 1 \\
\end{array}
\right), B= \left(
\begin{array}{cc}
0 & -3 \\
3 & 1 \\
2 & 0 \\
\end{array}
\right)
\end{align*}

 

Lösung

Die Dimensionen passen nur im Fall \(A\cdot B\) zueinander:
\begin{align*}
A\cdot B=\left(
\begin{array}{cc}
3 & 9 \\
-1 & 2 \\
-3 & -4 \\
-7 & -3 \\
\end{array}
\right)
\end{align*}