Inhallt:
»Vorbemerkung
»Die Definition
»Matrizen als lineare Abbildungen
»Ein Gegenbeispiel
»Kern und Bild
»Beispiele

Vorbemerkung

In diesem Artikel geht es um lineare Abbildungen, das sind strukturerhaltende Abbildungen zwischen Vektorräumen (LINK), das heißt, sie erhalten die Addition und die skalare Multiplikation. Im endlichdimensionalen sind lineare Abbildungen eng Matrizen verknüpft: Die Anwendung einer Matrix auf einen Vektor ist eine lineare Abbildung und nach einer geeigneten Basiswahl lässt sich jede lineare Abbildung durch eine Matrix ausdrücken.

Der Begriff der linearen Abbildung unterscheidet sich vom Begriff der Linearen Funktion aus der Schulmathematik. Wir zeigen unten, dass die Funktion\begin{align*}
f: x \mapsto mx+b
\end{align*}
im allgemeinen keine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra ist.

Die Definition

Seien \(V\) und \(W\) Vektorräume über einem Körper \(\mathbb{K}\). Eine Abbildung \(f: V \rightarrow W\) heißt linear, wenn gilt:

-\(f\) ist homogen, das heißt, für alle \(v \in V\) und für alle \(\alpha \in \mathbb{K}\) gilt:
\begin{align*}f(\alpha \cdot v)=\alpha \cdot f(v)\end{align*}

-\(f\) ist additiv, das heißt, für alle \(v, \ w \in V\) gilt:
\begin{align*}f(v+w)=f(v)+f(w)\end{align*}

Da die Addition und die Skalare Multiplikation die Struktur in einem Vektorraum bestimmen, redet man bei einer linearen Abbildung auch von strukturerhaltenden Abbildungen.

Man kann zeigen, dass es für die Linearität genügt, wenn für alle \(\alpha \in \mathbb{K}\) und alle \(v, \ w \in V\) gilt:
\begin{align*}f(v+\alpha w)=f(v)+\alpha f(w),\end{align*} man kann also beide Bedingungen "in einem" zeigen.

Die Matrix als lineare Abbildung

Wir beginnen mit einem Beispiel.

Matrizen als lineare Abbildungen: Weisen wir nach, dass jede (\(n\times m\))-Matrix \(A\) eine lineare Abbildung von \(\mathbb{R}^m\) nach \(\mathbb{R}^n\) ist.

Lösung: Wir müssen zeigen, dass \(f(x+\alpha y)=f(x)+\alpha f(y)\) gilt. In Matrixschreibweise ist die Funktion gegeben durch
\begin{align*}
&f:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n\\
&x\mapsto Ax.
\end{align*}
Legen wir los,

\begin{align*}
A(x+\alpha y)&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1+\alpha y_1\\
\vdots \\
x_m+\alpha y_m\\
\end{pmatrix}
\\
&=\begin{pmatrix}
a_{11}\cdot (x_1+\alpha y_1)+\dots +a_{1m}\cdot (x_m+\alpha y_m)\\
\vdots \\
a_{n1}\cdot (x_1+\alpha y_1)+\dots +a_{nm}\cdot (x_m+\alpha y_m)\\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
a_{11}x_1+\dots +a_{1m}x_m\\
\vdots \\
a_{n1}x_1+\dots +a_{nm}x_m\\
\end{pmatrix}
+\alpha
\begin{pmatrix}
a_{11}y_1+\dots +a_{1m}y_m\\
\vdots \\
a_{n1}y_1+\dots +a_{nm}y_m\\
\end{pmatrix} \\
&=Ax+\alpha Ay,
\end{align*}

 

 

 

damit haben wir die Linearität gezeigt!

Es gilt also, wie wir gerade bewiesen haben, dass jede Matrix als lineare Abbildung aufgefasst werden kann. Wichtig ist, die Rückrichtung gilt auch. Sind \(V\) und \(W\) endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper \(K\), dann kann jede lineare Abbildung \(f:V\rightarrow W\), als Matrix \(A\) dargestellt werden.

Ein Gebenbeispiel:

Weisen wir nach, dass nur die proportionale lineare Funktion aus der Schulmathematik \(f(x)=kx+d\), mit \(d=0\) eine lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra ist. Dabei ist \(f\) eine Funktion mit
\begin{align*}
& f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\
& x\mapsto mx+b.
\end{align*}

Lösung: Setzen wir mit der homogenität an, so sehen wir
\begin{align*}
f(x+y)=m\cdot (x+y)+b= mx+my+b \neq (mx+d)+(my+d)=f(x)+f(y)
\end{align*}
außer für \(d=0\). Die Funktion ist also im allgemeinen nicht linear.

Kern und Bild

Zwei wichtige Begriffe der linearen Abbildungen sind die des Kerns und des Bildes, auch ihre jeweiligen Dimensionen werden für uns von großer Wichtigkeit sein. Betrachten wir also erneut zwei Vektorräume \(V\) und \(W\) und eine lineare Abbildung \(f_A:V\rightarrow W\).

Die Menge der Vektoren aus \(V\), die auf den Nullvektor in \(W\) abgebildet werden, nennen wir den Kern der linearen Abbildung \(f_A\)/der Matrix \(A\). Die Menge wird abgekürzt mit \(\ker A\). In Formeln:
\begin{align*}
\ker A=\{v\in V| Av=0\}
\end{align*}

Die Menge der Bildvektoren \(Av\) nennen wir das Bild der linearen Abbildung \(f_A\)/der Matrix \(A\). Diese Menge bildet in \(W\) einen Untervektorraum. Diesen bezeichnen wir als \(\operatorname{im} A\) (von Image, Bild). In Formeln:
\begin{align*}
\operatorname{im}=\{w\in W| \exists v\in V: Av=w\}
\end{align*}

In der linearen Algebra zeigt man, der Rang(\(A\)) der Matrix stimmt mit der Dimension des Bildes zusammen.

Man kann zeigen, hat man eine Basis \(b_1,\cdots b_n\) in \(V\), dann erhält man aufgrund der Linearität von \(A\) die Basis des Untervektorraums \(\operatorname{im} A\) über \(Ab_1,\cdots Ab_n\). Verwendet man die Standardbasis \(e_1=(1;0\dots ;0)\) bis \(e_n=(0;\dots ;0;1)\)

Beispiel

Kern: Begründe, jede Matrix hat einen nichtleeren Kern.

Lösung: Die kurze Antwort ist, dass immer \(A0_V=0_W\) gilt, der Nullvektor von \(V\) also auf den Nullvektor von \(W\) abgebildet. Auf der anderen Seite kann man begründen, dass das Gleichungssystem
\begin{align*}
Ax=0
\end{align*}
immer eine Lösung hat, da Rang(\(A\))=Rang(\(A|0\)) gilt.

Bild und Kern: Berechne Kern und Bild der Matrix \(A\)
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
\end{pmatrix}
\end{align*}

Lösung: Berechnen wir dieses Beispiel ganz ausführlich und wenden auch unser bsiheriges Wissen an. Unsere Matrix ist eine \((2\times 3)\)-Matrix, geht also von dem \(\mathbb{R}^3\) in den \(\mathbb{R}^2\). Für den Kern müssen wir berechnen, welche Vektoren auf \((0;0)\) abgebildet werden. Dies entspricht der Lösung des Gleichungssystems
\begin{align*}
Ax&=0 \\
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}
0 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align*}

Hier haben wir gelernt, dass es eine Schnittgerade sein sollte, wenn wir das Gleichungssystem als Schnitt zweier Ebenen betrachten. Verwenden wir den Gaußalgorithmus
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 0\\
4 & 5 & 6 & | & 0\\
\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 0\\
0 & -3 & -6 & | & 0\\
\end{pmatrix}
\end{align*}
Dieses Gleichungssystem hat, wie wir hier (LINK) gelernt haben, eine eindimensionale Lösung, da die Matrix Rang(\(A\))=2 besitzt und für die Lösung \(\dim L=3-2=1\) gilt. Diese eindimensionale Lösung (die Schnittgerade) ist unser Kern. Setzen wir Gauß fort
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 0\\
0 & -3 & -6 & | & 0\\
\end{pmatrix}\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1,5 & | & 0\\
0 & -3 & -6 & | & 0\\
\end{pmatrix}
\end{align*}
und wählen wir \(z=s\) als unseren freien Parameter erhalten wir
\begin{align*}
& x=1,5s \\
& y=2s\\
& z=s.
\end{align*}

Die Dimension des Bildes ist 2, wie der Rang von \(A\). Die Matrix geht von den \(\mathbb{R}^3\) in den \(\mathbb{R}^2\), daher ist das Bild der Matrix auch der ganze \(\mathbb{R}^2\) und eine Basis des "Unterraumes" ist gegeben durch zum Beispiel die Standardbasis \((1;0)\) und \((0;1)\).

Bild und Kern 2: Berechne Kern und Bild der Matrix \(A\)
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4\\
5 & 6\\
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Lösung: Diesmal kürzen wir ein wenig ab. Der Kern ist erneut die Lösung von
\begin{align*}
Ax=0
\end{align*}
und da Rang(\(A\))=2 gilt, gegeben durch \((0;0)\), da die Lösung laut \(\dim L=n-\)Rang(\(A\))\(=2-2=0\) gilt. Das Bild \(\operatorname{im}A\) ist gegeben durch die Abbildung der Standardbasis, also \(Ae_1\) und \(Ae_2\), das ergibt
\begin{align*}
Ae_1=b_1=\begin{pmatrix}
1 \\ 3 \\ 5
\end{pmatrix}, Ae_2=b_2=\begin{pmatrix}
2 \\ 4 \\ 6
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Diese zwei Vektoren sind linear unabhängig und bilden daher eine Basis des Teilraums \(\operatorname{im}A\).

Lineare Abbildung: Finde die Matrix \(A\) zur linearen Abbildung
\begin{align*}
f_A(
\binom{x}{y}
)=\begin{pmatrix}
x-y \\
y-x \\
x+y
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Die Matrix geht von \(\mathbb{R}^2\) in den \(\mathbb{R}^3\), muss also eine (\(2\times 3\))-Matrix sein. Wir bilden die Basisvektoren ab und erhalten
\begin{align*}
f(e_1)=\begin{pmatrix}
1\\-1\\1
\end{pmatrix}, f(e_2)=\begin{pmatrix}
-1\\1\\1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Wir können daher Rückschließen, dass die Matrix \(A\) gegeben sein muss über
\begin{align*}
A=(f(e_1)|f(e_2))=\begin{pmatrix}
1 & -1\\
-1 & 1\\
1 & 1\\
\end{pmatrix}
\end{align*}