Inhalt
» Vorbemerkung
» Die Definition
» Das Charakteristische Polynom und die Algebraische Vielfachheit
»Eigenvektoren und die geometrische Vielfachheit
»Beispiele

Vorbemerkung

Eigenwerte und Eigenvektoren sind eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Ihre Anwendungen sind sehr vielseitig. Der Gedanke ist ein einfacher, wir suchen Vektoren \(\vec v_i\), die duch die Matrix \(A\) auf ein Vielfaches ihrer selbst abgebildet werden, in Formeln bedeutet das
\begin{align*}
A\vec{v}_i=\lambda_i \vec{v}_i.
\end{align*}

Die Definition

Formalisieren wir obige Definition noch weiter. Dabei verwenden wir, wie so oft, für Vektoren die Buchstaben \(u,v,w\) anstatt \(\vec{v},\vec{u},\vec{w}\). Matrizen werden mit Großbuchstaben \(A,B,\dots \) benannt und Skalare mit \(\lambda, \alpha\). Zudem behandeln wir nur Matrizen über dem reellen Körper \(\mathbb{R}\). Wir betrachten hier die \((n\times n)\)-Matrix \(A\) als lineare Abbildung über dem Vektorraum \(\mathbb{R}^n\). Erfüllt ein Vektor \(v\in V\) die Gleichung
\begin{align*}
Av=\lambda v
\end{align*}
für ein \(\lambda\in\mathbb{R}\), so nennen wir \(v\) Eigenvektor mit dazugehörigem Eigenwert \(\lambda\).

Ein triviales Beispiel wäre die Matrix
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
mit den dazugehörigen Eigenvektoren \(v_1=(1;0)\) und \(v_2=(0;1)\), beide haben den Eigenwert \(\lambda_1=1\). Die Matrix \(A\) mit
\begin{align*}
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
\end{array}
\right)
\end{align*}
hat die Eigenvektoren
\begin{align*}
v_1=\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}
-1\\0\\1
\end{pmatrix},
v_3=\begin{pmatrix}
-1\\1\\0
\end{pmatrix}
\end{align*}
mit den Eigenwerten
\begin{align*}
\lambda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=-\frac{1}{2}.
\end{align*}
Dies kann man leicht nachrechnen, nur wie haben wir die Vektoren und die Eigenwerte gefunden?

Das charakteristische Polynom und algebraische Vielfachheit

Wir leiten das charakteristische Polynom her, damit lassen sich Eigenwerte ausrechnen. Der Gedankengang ist ein simpler, Eigenwert und Eigenvektor erfüllen
\begin{align*}
& Av=\lambda v\\
& Av-\lambda v=0\\
& (A-\lambda I_n)v=0,
\end{align*}

dabei ist \(I_n\) die \((n\times n)\)-Einheitsmatrix. Nun bildet die lineare Abbildung/Matrix \((A-\lambda I_n)\) den Vektor \(v\) auf den Nullvektor ab. Man weiß daher, dass \((A-\lambda I_n)\) nicht injektiv sein kann, oder für uns wichtiger, nicht vollen Rang hat. Hat die Matrix \((A-\lambda I_n)\) keinen vollen Rang, wissen wir (LINK), dass ihre Determinante 0 ist. Wir erhalten also
\begin{align*}
\det (A-\lambda I_n)=0.
\end{align*}
Für die obige Matrix berechnen wir beispielsweise:
\begin{align*}
\det (
\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\
\end{pmatrix}
-\lambda
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix})=0\\
\rightarrow \det (\begin{pmatrix}
-\lambda & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\lambda & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\lambda \\
\end{pmatrix}=0\\
-\frac{1}{4} (\lambda-1) (2 \lambda+1)^2=0
\end{align*}




Diese Gleichung kann man lösen und hat die Lösungen \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_{2,3}=-\frac{1}{2}\), dies sind unsere Eigenwerte. Wir erhalten demnach Eigenwerte über das Lösen des sogenannten charakteristischen Polynoms under der Gleichung \(\det (A-\lambda I_n)=0\).

Man sagt, \(\lambda_1=1\) hat algebraische Vielfachheit 1 und \(\lambda_{2,3}=-\frac{1}{2}\) hat algebraische Vielfachheit 2, da es eine doppelte Lösung ist.

Eigenvektoren und geometrische Vielfachheit

Gerade eben haben wir gelernt, wie wir Eigenwerte berechnen können. Haben wir diese, führt das Lösen des dazugehörigen
\begin{align*}
(A-\lambda I_n)v=0
\end{align*}
nach \(v\). Wir wissen bereits, dass dieses System immer eine Lösung haben muss, denn Rang(\((A-\lambda I_n)\))=Rang(\((A-\lambda I_n)\)|0). Legen wir los und setzen \(\lambda_1\) ein, um \(v_1\) zu berechnen
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
-1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1\\
\end{pmatrix}v=0
\end{align*}

Dieses Gleichunggsystem (hier (LINK) mehr dazu, wie wir es Lösen) hat die Lösung
\begin{align*}
L=\{ s\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}|s\in\mathbb{R}\}
\end{align*}

und dadurch erhalten wir den Eigenvektor \(v=(1;1;1)\). Die Dimension der Lösung ist 1, wir nennen diese Dimension die geometrische Vielfachheit. Den/die Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda_{2,3}=-\frac{1}{2}\) (mit algebraischer Vielfachheit 2) erhalten wir durch Lösen von
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}v=0.
\end{align*}

Die Matrix dieses Gleichunggsystems hat offensichtlich Rang 1, deshalb hat die Lösung des Gleichungssystems Rang 2. Sie ist gegeben durch
\begin{align*}
L=\{ s\begin{pmatrix}
-1\\0\\1
\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}
-1\\1\\0
\end{pmatrix}|s,r\in\mathbb{R}\}
\end{align*}

und dadurch erhalten wir die zwei Eigenvektoren \(v_2=(-1;0;1)\) und \(v_3=(-1;1;0)\). Der Eigenwert \(\lambda_{2,3}=-\frac{1}{2}\) hat demnach geometrische Vielfachheit 2. In den Beispielen findet ihr Matrizen, deren Eigenwerte eine größere algebraische als geometrische Vielfachheit haben.

Beispiele

Obere Dreiecksmatrix: Berechne Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \(B\) mit
\begin{align*}
B=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 6 \\
\end{array}
\right).
\end{align*}
Was fällt dabei auf?

Lösung: Es handelt sich um eine obere Dreiecksmatrix. Dadurch erhalten wir durch Entwickeln nach der ersten Spalte sehr leicht das charakteristische Polynom
\begin{align*}
\det (B-\lambda I_3)=-(\lambda-6) (\lambda-4) (\lambda-1).
\end{align*}

Wir erkennen, dass wir bei einer oberen Dreiecksmatrix anscheinend die Eigenwerte in der Diagonale ablesen können, denn
\begin{align*}
-(\lambda-6) (\lambda-4) (\lambda-1)=0
\end{align*}

hat, laut dem Produktnull-Satz, offensichtlich die Lösungen \(\lambda_1=6,\lambda_2=4,\lambda_3=1\). Die dazugehörigen Eigenvektoren berechnen wir über das Lösen der drei Gleichunggsysteme
\begin{align*}
(B-6I_3)v=0, (B-4I_3)v=0, (B-1I_3)v=0
\end{align*}
und erhalten die drei Eigenvektoren \(v_1=(16;25;10)\), \(v_2=(2,3,0)\) und \(v_3=(1,0,0)\).

Geometrische Vielfachheiten: Obere Dreiecksmatrix: Berechne Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \(B\) mit
\begin{align*}
B=\left(
\begin{array}{ccc}
4 & 1 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right).
\end{align*}

Was fällt dabei auf?

Lösung: Wie im vorigen Beispiel begründet, können wir die Eigenwerte ablesen, es gilt \(\lambda_{1,2}=4\) und \(\lambda_3=1\). Einfach lässt sich \(v_3\) zu \(\lambda_3\) berechnen, es ergibt \(v_3=(0;0;1)\). Interessant ist der Eigenwert \(\lambda_{1,2}=4\) mit algebraischer Vielfachheit 2 denn

\begin{align*}
& (B-4I_3)v=0\\ \\
& \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -3 \\
\end{array}
\right)v=0
\end{align*}


hat nur eine eindimensionale Lösung, denn \((B-4I_3)\) hat Rang 2. Diese Lösung ist gegeben durch
\begin{align*}
L=\{ s\begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}|s\in\mathbb{R}\}
\end{align*}

und daher haben wir nur einen Eigenvektor, \(v_1=(1;0;0)\). Der Eigenwert \(\lambda_{1,2}=4\) hat demnach algebraische Vielfachheit 2 aber nur geometrische Vielfachheit 1.

\(2\times 2\): Berechne Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \(B\) mit
\begin{align*}
B=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{array}
\right).
\end{align*}
Das charakterisitsche Polynom ergibt \(\lambda^2-5\lambda -2\), das hat die gerundeten Lösungen \(\lambda_1=5,372\) und \(\lambda_2=-0,372\). Eigenwerte sind also im allgemeinen natürlich nicht ganzzahlig, auch wenn wir das der Einfachheit halber in unseren vorigen Beispielen gemacht haben. Die dazugehörigen Eigenvektoren sind \(v_1=(0.457; 1)\) und \(v_2= (-1.457, 1)\).