Inhalt
» Geometrisch
» Algebraisch
» Weitere algebraische Beispiele
» Nullstellen ungerader und gerader Ordnung

Nullstellen von Funktionen haben unterschiedlichste Bedeutungen. Sie sind geometrisch leicht zu erkennen, meistens leicht auszurechnen und haben im Kontext oft wichtige Bedeutungen. Man denke an die Höhe eines geworfenen Balles oder die Temperatur in Celsius (Gefrierpunkt).

Geometrisch

Die Nullstellen einer Funktion \(f\) sind geometrisch gesehen die Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(x\)-Achse.

Funktionen können keine, eine, mehrere und sogar unendlich viele Nullstellen haben. Manche Funktionstypen (siehe Menüpunkt Funktionen) sind für euch vielleicht noch unbekannt, daher konzentrieren wir uns hier zu Beginn nur auf ihre Graphen.

nullstellen_von_funktionen2
Wir sehen in unseren Grafiken die Funktionen \(f\), \(g\), \(h\) und \(i\) mit den jeweiligen Nullstellen. Dabei hat \(f\) gar keine Nullstelle, \(g\) hat eine Nullstelle \(N_1=(6;0)\), \(h\) hat drei Nullstellen \(N_1=(0;0)\), \(N_2=(-4;0) \) und \(N_3=(3;0)\) und \(i\) hat unendlich viele Nullstellen welche nach dem Muster \(N_z=(z;0)\), \(z\in\mathbb{Z}\) gebildet werden können.

Algebraisch

Algebraisch sind die Nullstellen einer Funktion \(f\) die Lösungen der Gleichung \(f(x)=0\). Wir geben uns also das von \(x\) abhängige Ergebnis \(f(x)\) der Funktion vor oder anders gesagt, wir legen die \(y\)-Koordinate des Graphen fest, \(y=0\). Mit dem Lösen der Gleichungen finden wir heraus, für welche \(x\) das eintritt. Im vorigen Abschnitt haben wir die Funktion \(f(x)=\frac{1}{4}x^2-x+2\) betrachtet und sehen am Graphen, dass keine Nullstellen vorliegen. Kennen wir den Graphen nicht und wollen wir die Nullstellen berechnen, so führt das auf die quadratische Gleichung

\begin{align*}
&&f(x)&=0
\newline&\Leftrightarrow~&\frac{1}{4}x^2-x+2&=0.
\end{align*}

Wir setzen mit der Lösungsformel an und erhalten
\begin{align*}
x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1-2}}{2\cdot\frac{1}{4}}
\end{align*}
An unserer Diskriminante \(D=1-2=-1\) sehen wir, dass die Gleichung keine Lösungen hat und schließen daraus algebraisch, dass die Funktion keine Nullstellen besitzt.

Weitere algebraische Beispiele

Die Funktion \(g\) aus obiger Grafik ist eine lineare Funktion und hat eine Nullstelle. Wir erhalten die dazugehörige lineare Gleichung und lösen diese
\begin{align*}&&g(x)&=0
\newline&\Leftrightarrow~&\frac{1}{3}x-2&=0
\newline&\Leftrightarrow~&\frac{1}{3}x&=2
\newline&\Leftrightarrow~&x&=6.
\end{align*}

 

 

Daraus erhalten wir die Nullstellen \(N_1=(6;0)\).

Die Funktion \(h\) mit der Funktionsgleichung \(h(x)=\frac{x^3}{5}+\frac{x^2}{5}-\frac{12 x}{5}\) hat, wie wir der Grafik entnehmen konnten, drei Nullstellen. Das Lösen der Gleichung ist schwieriger als zuvor

\begin{align*}
& & h(x) & =0 \\
& \Leftrightarrow & \frac{x^3}{5}+\frac{x^2}{5}-\frac{12 x}{5}&=0\\
& \Leftrightarrow~&\frac{x}{5}(x^2+x-12)&=0 \\
& \Rightarrow~&\frac{x}{5}&=0 \\
& \text{ oder } & x^2+x-12&=0. \\
\end{align*}

 

 

Dabei haben wir den Produktsatz verwendet.


Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

Wir erhalten zwei separat zu bearbeitende Gleichungen, wobei wir die erste direkt und die zweite, quadratische, Gleichung mit der Lösungsformel lösen:

\begin{align*}
& I: & \frac{x}{5}=0 \\
& & \Leftrightarrow x_1=0 \\
&II: & x^2+x-12=0 \\
& &\Rightarrow x_{2,3}=\frac{-1\pm \sqrt{1-4\cdot (-12)}}{2} \\
& &x_2=3 \text{ und } x_3=-4.
\end{align*}

 

 

woraus unsere drei Nulstellen \(N_1=(0;0)\), \(N_2=(3;0) \) und \(N_3=(-4;0)\) resultieren.

Unsere letzte Funktion hat die Funktionsgleichung \(i(x)=\frac{x}{7}\sin (\pi \cdot x)\) und wir erhalten nach dem "Nullsetzen" aus dem Produktsatz erneut
\[ \frac{x}{7}=0 \text{ oder } \sin (\pi x)=0 \]


Daraus erhalten wir \(x_0=0\) oder mit Hilfe der Trigonometrie [Link setzen] \(\pi\cdot x=z\cdot \pi\) mit \(z\in\mathbb{Z}\) woher unsere unendlich vielen Nullstellen resultieren (denn der Sinus ist für ganzzahlige vielfache von \(\pi\) gleich 0).

Nullstellen ungerader und gerader Ordnung

Wir sehen im vorigen Beispiel, dass sich die Nullstelle von \((0;0)\) bei \(i\) von den anderen unterscheidet. Das liegt daran, dass 0 eine doppelte Nullstelle ist. Sowohl \(\frac{x}{7}\) als auch \(\sin (\pi x)\) sind für \(x=0\) Null. Generell gilt:

Hat eine Nullstelle ungerade Ordnung, ist sie also eine einfache, dreifache, fünffache, ..., Nullstelle, so schneidet die Funktion die \(x\)-Achse.
Hat eine Nullstelle gerade Ordnung, ist sie also eine doppelte, vierfache, ..., Nullstelle, so berührt die Funktion die \(x\)-Achse.

Im folgenden einige Beispiele deren Nullstellen wir sofort an den Funktionsgleichungen ablesen können.


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