Inhalt
» Mathematische Einschränkungen
  » Polynom
  » Wurzelfunktion
  » Bruch und Logarithmus
  » Bruch und Umformungen
» Einschränkungen aufgrund des Kontextes

Egal ob Funktion, Term oder Gleichung, im Allgemeinen darf (oder sollte) man nicht jede Zahl in ein mathematisches Objekt einsetzen. Dies kann unterschiedliche Gründe haben. Alle Werte \(x\), deren Verwendung wir für sinnvoll halten, nennen wir Definitionsmenge \(D\) unseres Terms. Bei Funktionen \(f\) sprechen wir ebenfalls von einer Definitionsmenge \(D_f\) und bei Gleichungen üblicherweise von einer Grundmenge \(G\).

Mathematische Einschränkungen

Wir untersuchen in diesem Abschnitt umgangssprachlich ausgedrückt mathematische Problemstellen einer Funktion. Grob gesagt muss man hier auf drei Rechenoperationen achten, den Bruch, die Wurzel sowie den Logarithmus.

Die Division durch 0 ist mathematisch nicht definiert: \(\cancel{ \frac{1}{0} }\).
In den reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) darf man nicht die Wurzel einer negativen Zahl ziehen: \(\cancel{\sqrt{-1}}\).
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert: \(\cancel{\log (-1)}\), \(\cancel{\log (0)}\).
 
Polynom

Zu Beginn betrachten wir die Definitionsmenge \(D_p\) der Polynomfunktion \(p\) mit \(p(x)=\frac{1}{2}x^3-x^2-2\). Wir haben zwar einen Bruch, jedoch befindet sich unsere Variable \(x\) nicht im Nenner des Bruches, sondern im Zähler \(\frac{1}{2}x^3=\frac{x^3}{2}\). Die Division durch \(0\) tritt daher nicht auf. Der Definitionsbereich dieses Polynoms (und jedes anderen auch) ist daher \(\mathbb{R}\).

Wurzelfunktion

Im Folgenden betrachten wir den Definitionsbereich \(D_f\) der Funktion \(f(x)=\sqrt{x-2}+x\). Für den sogenannten Radikanden unter der Wurzel \(\sqrt{\ }\) gilt: er muss \(\geq 0\) sein. Daher berechnen wir zum festlegen unseres Definitionsbereiches

\begin{align*}&&x-2&\geq 0
\newline
&\Leftrightarrow &x&\geq 2.
\end{align*}

Wir schließen daraus, dass für unseren Definitionsbereich gilt \(D_f=[2;\infty)\) oder als Menge aufgeschrieben \(D_f=\{ x\in\mathbb{R}: x\geq2\} \).

Bruch und Logarithmus

Nun betrachten wir die (kompliziertere) Funktion \(g(x)=\frac{x}{\log (x+1)}\). Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Werte definiert. Das Argument \(x+1\) muss daher größer Null sein, als Formel

\begin{align*}
&&x+1&>0
\newline
&\Leftrightarrow &x&>-1.
\end{align*}

Wir sind jedoch noch nicht fertig. Aufgrund des Bruches müssen wir überprüfen, ob der Nenner eine Nullstelle hat. Die Logarithmusfunktion hat dies. Es gilt:

\begin{align*}
&~\log (x+1)&&=0
\newline
\Rightarrow &~x+1&&=1
\newline
\Leftrightarrow &~x&&=0.
\end{align*}

Unser Definitionsbereich beginnt also bei \(-1\) und wir müssen dazu die \(0\) noch ausschließen: \(D_g=(-1;\infty )~\setminus ~ \{ 0 \}\) oder anders geschrieben \(D_g=(-1;0)~\cup ~(0;\infty )\). Als Menge kann man auch schreiben \(D_g=\{ x\in \mathbb{R}: x>-1 \text { und } x\neq 0\}\).

Brüche und Lösen von Gleichungen

Betrachten wir abschließend die Gleichung

\begin{align*}
x-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.
\end{align*}

Aufgrund des \(x\) im Nenner beider Brüche erhalten wir als Grundmenge \(G=\mathbb{R}~\setminus ~\{0\}\). Wir beginnen das Lösen der Gleichung

\begin{align*}~&x-\frac{1}{x}&&=\frac{x-1}{x} ~&&|\cdot x\newline
\Rightarrow ~&x^2-1&&=x-1 ~&&|+1-x
\newline
\Leftrightarrow ~&x^2-x&&=0
\newline
\Leftrightarrow ~&x(x-1)&&=0
\end{align*}

 

und lesen die Lösungsmenge \(L=\{ 0; 1\}\) unserer Gleichung mit Hilfe des Produktsatzes ab: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Jedoch ist \(\{ 0\}\) nicht in der Grundmenge \(G\) enthalten! Unsere tatsächliche Lösungsmenge ist daher \(L=\{ 1\}\).

Die Ursache für die "zu große" Lösungsmenge ist übrigens die Tatsache, dass die Multiplikation mit \(x\) keine Äquivalenzumformung ist. Solche Umformungen müssen immer umkehrbar sein. Man muss also auch durch \(x\) teilen können, was für \(x=0\) nicht erlaubt ist.

Einschränkungen aufgrund des Kontextes

Am Besten erklärt sich dieser Bereich an Beispielen.

Beispiel 1

Eine Klasse möchte zu Weihnachten dem Klassenvorstand ein Geschenk kaufen. Das Geschenk kostet 40 Euro. Die Klasse hat 23 SchülerInnen und nicht alle wollen zahlen.

Wie hoch sind die Kosten per Kopf wenn sich \(x\) Schüler/innen nicht beteiligen wollen?

Mathematisch kann dies durch den Term (oder die Funktion) \(T(x)=\frac{40}{23-x}\) berechnet werden. Unsere Definitionsmenge ist mathematisch gesehen daher \(D_T=\mathbb{R}\setminus \{23 \}\). Allerdings gibt es keine halben Schülerinnen und Schüler. Auch \(\pi\) oder negative Zahlen ergeben in diesem Kontext keinen Sinn (auch wenn natürlich irrationale und negative Schüler/innen existieren ;-) ). Man sollte daher die Definitionsmenge auf die natürliche Zahlen oder gar auf \(D_T=\{ 0;1;\cdots ;22\}\) einschränken. Diese Einschränkung ist kontextabhängig.

Beispiel 2

In der Physik kann die Höhe \(h\) eines vertikal nach oben geworfenen Körpers in Abhängigkeit der Zeit \(t\) ungefähr durch die quadratische Funktion \(h(t)=-5t^2+45t\) beschrieben werden. Dabei entspricht \(-5 \approx \frac{-9,81}{2}\), der Erdanziehung. In diesem (und den meisten) Physikbeispiel betrachten wir nur die Zeit \(t\geq 0\). Nachdem der Körper nach 9 Sekunden wieder landet (überprüfe \(h(9)=0\)) ergibt unser Model physikalisch unsinnige, aber mathematisch richtige, negative (Höhen-)Werte. Deshalb schränken wir unsere Definitionsmenge aufgrund des physikalischen Kontext auf \(D_h=[0;9]\) ein.