Inhalt
» Vorbemerkungen
» Die analytische Interpretation: Änderung der momentanen Änderung
» Die geometrische Interpretation: Krümmung und Fahrradfahren
» Extremwertbestimmung mit Hilfe der Krümmung
» Beispiele
» Anmerkungen

Vorbemerkungen

Die Herleitung der Krümmung über die zweite Ableitung zu Beginn dieses Kapitels wird oft im Schulunterricht ausgelassen. Wir führen es trotzdem ganz intuitiv ein. Im Anschluss besprechen wir klassisch Wendepunkte und Krümmung einer Funktion.

Die analytische Interpretation: Änderung der momentanen Änderung

Wir betrachten unsere Funktion aus dem Kapitel Differenzenquotient. Das Wachstum eines Baumes kann näherungsweise durch die Funktion

\begin{align*}
h(t)=4,5e^{-\frac{1}{2t^2}}
\end{align*}
beschrieben werden. Der Graph dazu war der folgende

differentenquotient1

Uns viel damals schon auf, dass die Funktion zwar streng monoton steigend ist, aber wir eine deutliche Änderung im Verlauf sehen. Zeichnen wir nun einige Tangentenstücke ein, so sehen wir, dass die Steigungen der Tangenten zuerst ansteigen und dann abfallen.

baumwachstummittangenten

Die Tangentensteigung ist gegeben durch die Werte der ersten Ableitung. Diese ist immer positiv, da alle Tangentensteigungen positiv sind und die Funktion monoton wächst. Sie nimmt aber zuerst zu (Tangentensteigungen werden größer) und dann ab (Tangentensteigungen werden kleiner). Die erste Ableitung selbst ist daher zuerst monoton steigend und dann fallend. Nun können wir daraus schließen, dass die Ableitung der Ableitung \([f']'=f''\) daher zuerst positiv sein muss, da \(f'\) steigt und im Anschluss \(f''\) negativ sein muss, da \(f'\) fällt. Wir erhalten also


Ist \(f''>0\) so wächst die Steigung einer Funktion \(f\),
Ist \(f''<0\) so fällt die Steigung einer Funktion \(f\).

Die geometrische Interpretation: Krümmung und Fahrradfahren

Was bedeutet dies nun geometrisch? Stellen wir uns vor, dass wir auf unserem Graph von \(h\) entlang fahren, so lenken wir zu Beginn der Fahrt nach links und ab einem gewissen Zeitpunkt nach rechts. Man nennt diese Bereiche daher links- und rechtsgekrümmt. Alternative Bezeichnungen sind positive und negative Krümmung.kruemmungpositivnegativ


Ist \(f''>0\) so ist die Funktion \(f\) links-/positiv gekrümmt,
Ist \(f''<0\) so ist die Funktion \(f\) rechts-/negativ gekrümmt.

Den Punkt, an dem sich die Krümmung ändert/wir umlenken, nennen wir Wendepunkt.

Der Wendepunkt

Der Wendepunkt ist der Punkt des Krümmungswechsels von Links- auf Rechtskrümmung (oder umgekehrt).

Gilt \(f''(x_0)=0\) und \(f'''(x_0)>0\) so hat die Funktion im Punkt \((x_0; f(x_0))\) einen Wendepunkt. Die Steigung hat hier ein Minimum.
Gilt \(f''(x_0)=0\) und \(f'''(x_0)<0\) so hat die Funktion im Punkt \((x_0; f(x_0))\) einen Wendepunkt. Die Steigung hat hier ein Maximum.
Gilt \(f''(x_0)=0\) und \(f'''(x_0)=0\) so können wir erstmal keine Auskunft geben, mehr dazu in den Anmerkungen.

Warum interessiert uns ob die Steigung ein Minimum oder Maximum besitzt? Oftmals wird nach der steilsten Stelle einer Funkion gefragt, dies ist üblicherweise dann der Wendepunkt. Im folgenden haben wir eine streng monoton steigende Funktion mit der minimalen Steigung (\(f'(0)=0\)) im Wendepunkt.

wendepunkt2

Ein weiteres Beispiel findet ihr in den Beispielen (Baumwachstum).

Extremwertbestimmung mit Hilfe der Krümmung

Im vorangegangen Abschnitt haben wir die zweite Ableitung zum Nachweis von Hoch- beziehungsweise Tiefpunkten verwendet. Durch die geometrische Interpretation der zweiten Ableitung verstehen wir nun auch weshalb. Ein Minimum (Tiefpunkt) hat zwangsweise eine positive Krümmung und ein Maximum (Hochpunkt) eine negative Krümmung (zusätzlich zur waagrechten Tangente). Im Folgenden eine Gruppe negativ und positiv blickender (gekrümmter) Gesichter je nachdem ob Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

wendepunkt3

Beispiele

Erneut der vertikale Wurf: Betrachten wir den vertikalen Wurf \(h(t)=30t-5t^2\) mit \(D_h=[0;6]\). Berechnen Sie die Krümmung.

Lösung

Die erste Ableitung ist durch \(h'(t)=30-10t\) gegeben. Die zweite Ableitung \(h''(t)=-10\), die Funktion ist also konstant negativ gekrümmt. In der Newtonschen Mechanik ist die zweite Ableitung einer Streckenfunktion \(h\) (oder oft \(s\)) die Beschleunigung \(a\). Unser Modell geht also von einer konstanten Beschleunigung auf der Erde aus. Die \(-10\) resultieren gerundet aus der Gravitationskonstante \(9,81\frac{m}{s^2}\). Das Minus und dadurch die negative Krümmung erhalten wir aus dem Umstand, dass die Erdgravitation uns nach unten zieht. Mehr dazu findet ihr in dem Artikel zur Anwendung von Differenzial- und Intergralrechnung.

Die einfache Polynomfunktion: Geben Sie die Wendepunkte der Polynomfunktion \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x+1\) an.

Lösung

Zu Beginn berechnen wir die erste und zweite Ableitung (sowie die dritte Ableitung zum Nachweis)
\begin{align*}
& f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x+1\\
& \Rightarrow f'(x)=x^2-3x+2\\
& \Rightarrow f''(x)=2x-3\\
& \Rightarrow f'''(x)=2.
\end{align*}

 

Für die Wendepunkte muss die zweite Ableitung Null sein. Wir erhalten dadurch einen Wendepunktverdacht. Die zweite Ableitung \(f''\) ist eine lineare Funktion, diese hat genau eine Nullstelle
\begin{align*}
& f''(x)=0\\
& \Rightarrow 2x-3=0\\
& \Rightarrow x=\frac{3}{2}\\
& \Rightarrow f'''(\frac{3}{2})=2.
\end{align*}

 


Die dritte Ableitung an der Stelle \(\frac{3}{2}\) bestätigt uns, dass wir wirklich einen Wendepunkt haben bei \(W=(\frac{3}{2};f(\frac{3}{2}))=(\frac{3}{2}; \frac{7}{4})\).

Die Polynomfunktion: Wir suchen die Wendestelle(n) der Funktion \(f(x)=3 x^5-20 x^3+1\).

Lösung

Dazu müssen wir die Lösung der Gleichung \(f''(x)=0\) suchen. Wir berechnen also die erste, zweite und (für die Wendepunktbestätigung) dritte Ableitung
\begin{align*}
& f(x)=3 x^5-20 x^3+1\\
& f'(x)=15 x^4-60 x^2\\
& f''(x)=60x^3-120x\\
& f'''(x)=180x^2-120
\end{align*}
und lösen \(f''(x)=0\)
\begin{align*}
& f''(x)=0\\
& \Rightarrow 60x^3-120x=0\\
& \Rightarrow 20x\cdot (3x^2-6)=0\\
& \Rightarrow I: 20x=0 \text{ oder } II: 3x^2-6=0\\
& \Rightarrow x_1=0, x_2=-\sqrt{2}, x_3=\sqrt{2}.
\end{align*}


Wir überprüfen nun in unserer dritten Ableitung die drei Verdachtsmomente \(x_1,x_2,x_3\) und erhalten tatsächlich drei Wendepunkte denn
\begin{align*}
& f'''(0)= -120<0, \Rightarrow \text{ Wendepunkt bei } (0;f(0))\\
& f'''(-\sqrt{2})= 240>0, \Rightarrow \text{ Wendepunkt bei } (-\sqrt{2};f(-\sqrt{2}))\\
& f'''(\sqrt{2})= 240>0, \Rightarrow \text{ Wendepunkt bei } (\sqrt{2};f(\sqrt{2}))\\
\end{align*}
und mit Hilfe unserer Funktion \(f\) erhalten wir die dazugehörigen \(y\)-Koordinaten der drei Wendepunkte \(W_1=(0;1)\), \(W_2=(x_2;f(x_2))\approx (-1,41;40,6)\) und \(W_3=(x_3;f(x_3))\approx (1,41;-38,6)\).

Das Baumwachstum: Das Wachstum einer Pflanze zu Beginn kann näherungsweise durch die Funktion

\begin{align*}
h(t)=4,5e^{-\frac{1}{2t^2}}
\end{align*}
beschrieben werden mit \(t>0\). Der Graph dazu ist der folgende

differentenquotient1

Geben Sie den Zeitpunkt an, an dem das Wachstum des Baumes am stärksten ist.

Lösung

Die Höhe des Baumes verläuft streng monoton steigend. Die erste Ableitung \(h'\) ist also immer größer 0. Wie wir festgestellt haben, hat die Funktion im Wendepunkt ihren steilsten Anstieg (\(h'\) hat ein Maximum) wenn \(h'''(x)<0\) gilt. Wir berechnen also die ersten drei Ableitungen mit Hilfe der Ketten- und Produktregel und einiger Algebra (oder einem CAS System):

\begin{align*}
& h(t)=4,5e^{-\frac{1}{2t^2}}\\
& h'(t)=\frac{4,5 e^{-\frac{1}{2 t^2}}}{t^3}\\
& h''(t)=\frac{e^{-\frac{1}{2 t^2}} (4,5 -13,5 t^2)}{t^6} \\
& h'''(t)=\frac{e^{-\frac{1}{2 t^2}} (54 t^4-40,5 t^2+4,5)}{t^9}.
\end{align*}

 


Nun suchen wir den Wendepunkt, lösen also (mit Hilfe des Produktsatzes):
\begin{align*}
& h''(t)=0\\
& \Rightarrow \frac{e^{-\frac{1}{2 t^2}} (4,5 -13,5 t^2)}{t^6}=0\\
& \Rightarrow I: e^{-\frac{1}{2 t^2}}=0 \text{ oder } II: 4,5 -13,5 t^2=0\\
\end{align*}


Die erste Gleichung \(I\) hat keine Lösung. Aus \(II\) erhalten wir zwei Lösungen,nämlich \(t_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{4,5}{13,5}}\approx\pm 0,58\). Die negative Lösung liegt außerhalb unseres Definitionsbereiches und wenn wir \(t=0,58\) in die dritte Ableitung einsetzen erhalten wir \(h'''(0,58)\approx -91,77<0\). Wir haben also tatsächlich einen Wendepunkt und dieser hat die maximale Steigung, welche wir mit der ersten Ableitung berechnen können \(h'(0,58)\approx 5,22\).

Anmerkungen

Die Kombination \(f''(x_0)=0\) und \(f'''(x_0)\neq 0\) ist eine hinreichende Bedingung. Sie führt also zu einem Wendepunkt, dabei ist \(f''(x_0)=0\) auch notwendig. Was ist jedoch wenn \(f'''(x_0)=0\)? Wie wir an den Funktionen \(x^4\) und \(x^5\) sehen können, gibt es Funktionen mit \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=0\) die einen Wendepunkt haben können (\(x^5\)) oder auch nicht (\(x^4\)). Es gilt also, dass wir in der Situation \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=0\) erst einmal keine Aussage treffen können.