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» Vorbemerkung
» Weitere Anwendungen der Integralrechnung
» Beispiele

Vorbemerkung

Die erste Anwendung der Differentialrechnung ist der vertikale Wurf. Ihr Spezialfall, der vertikale Fall, ist, so sagt man, auch historisch gesehen der Ausgangspunkt, als Newton der Apfel auf den Kopf viel.

Differenzial- und Differenzenquotient als Änderungsraten im beliebigen Kontext haben wir bereits in den jeweiligen Kapiteln behandelt. Ebenso haben wir den vertikalen Fall HIER behandelt.

Wir schließen das Kapitel mit zwei weiteren Anwendungen der Integralrechnung, dem Durchfluss und der Kraft.
Ausgangspunkt unserer Beispiele wird folgende Tabelle sein:

\(s\) \(f\) \(F\)
\(v\) \(f'\) \(f\)
\(a\) \(f''\) \(f'\)

 Haben wir eine Wegfunktion \(s\) in Abhängigkeit von \(t\) gegeben, so gibt die erste Ableitung die dazugehörige Geschwindigkeitsfunktion an und die zweite Ableitung die Beschleunigung. In manchen Beispielen ist jedoch die Geschwindigkeitsfunktion gegeben, dann erhalten wir den zurück gelegten Weg mit Hilfe der Stammfunktion \(F\) und die Beschleunigung mit der ersten Ableitung.

Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Zwei weitere beliebte Anwendungen sind die erbrachte Arbeit \(W\)(ork)
\begin{align*}
W=\int F(s)ds,
\end{align*}
dabei ist \(F\) die aufgewendete Kraft entlang eines Weges \(s\).

Auch ein häufiges Beispiel ist die Durchflussfunktion \(d(t)\). Mit ihrer Hilfe kann man den Gesamtdurchfluss in einem Zeitintervall \([a;b]\) berechnen,
\begin{align*}
D=\int_a^b d(t)dt.
\end{align*}

Beispiele

Bremsweg: Der ICE 3 kann bei einer Notbremsung von 324 \(\frac{km}{h}\) in unter 53 Sekunden bremsen. Ein normaler Bremsvorgang bei gleicher Geschwindigkeit dauert länger. Modellieren Sie den Bremsvorgang mit einer linearen Funktion \(f(x)=k\cdot x+d\) und berechnen Sie den Bremsweg.

analysis/anwendungen_1

Lösung

Wir müssen uns auf eine Zeiteinheit einigen und rechnen die 324 \(\frac{km}{h}\) in \(\frac{m}{s}\) um, die Geschwindigkeit beträgt also
\begin{align*}
324\frac{km}{h}=324\cdot \frac{1000}{3600} \frac{m}{s}=90\frac{m}{s}.
\end{align*}
Dann wissen wir zwei Punkte unserer linearen Funktion, \((0;90)\) und \((53;0)\). Der erste Punkt gibt uns \(d\) und damit können wir dann schnell \(k=-\frac{90}{53}\) berechnen. Unsere Tabelle sagt nun, für den Bremsweg benötigen wir die Stammfunktion von \(v\).
\begin{align*}
\int v(t)dt=\int -\frac{90}{53}t+90 dt = -\frac{90}{106}t^2+90t+C=s(t).
\end{align*}
Damit können wir dann die Wegstrecke \(s\) im Intervall \([0;53]\) berechnen, also
\begin{align*}
s(53)-s(0)=2385.
\end{align*}
Letztendlich berechnen wir dabei die Fläche \(A\) unter der Geschwindigkeitsfunktion \(v\).

analysis/anwendungen_2

Die Donau: Der Durchfluss der Donau bei Wien beträgt ungefähr 1900\(\frac{m^3}{s}\). Aufgrund eines Gewitters nimmt der Durchfluss stark zu.

analysis/anwendungen_donau1

 Im Zeitintervall \([10;18]\) bis der Niederschlag seine volle Stärke erreicht hat, kann der Durchfluss durch \(d(t)=-9,6t^3+360t^2-4320t+18700\) beschrieben werden. Wie hoch ist der Niederschlag in den 24 Stunden?

Lösung

Vor dem Gewitter und mit Erreichen des maximalen Niederschlags ist unsere Durchflussfunktion konstant.

Wir können die Fläche also mit Hilfe der Integralrechnung lösen oder kurz die Flächen mit Hilfe der Rechtecksformel lösen und erhalten \(1900 \frac{m^3}{s}\cdot 10h\) und \(2500\frac{m^3}{s}\cdot 9h\). Wir müssen also noch die Einheiten aufeinander abstimmen und erhalten
\begin{align*}
A_1+A_2 &= 1900 \frac{m^3}{s}\cdot 10h+2500\frac{m^3}{s}\cdot 9h \\
&= 1900\cdot 10\cdot 3600 m^3+2500\cdot 9 \cdot 3600=149400000m^3.
\end{align*}
Die Fläche während des Niederschlaganstiegs können wir nur mit Hilfe der Integralrechnung berechnen. Dazu rechnen wir vorsichtig aufgrund der Einheiten
\begin{align*}
\int_{10}^{15} -9,6t^3+360t^2-4320t+18700dt = 11000 \frac{m^3}{s}\cdot h.
\end{align*}
Das ergibt \(A_3=11000\cdot 3600 m^3=39600000m^3\).

analysis/anwendungen_donau3

Die Feder: Die Kraft \(F\) die man beim Dehnen einer Feder aufbringt, wächst konstant in Abhängigkeit der Dehnung in \(m\). Geben Sie einen Term für die aufgebrachte Arbeit \(W\) in Abhängigkeit der Dehnung in \(x\) Metern an.

Lösung

Konstantes Wachstum wird durch lineare Funktionen dargestellt. Da bei 0 Metern Dehnung keine Kraft benötigt wird, geht diese durch den Ursprung.

 

analysis/anwendungen_kraftu

Die Arbeit \(W\), die eine konstante Kraft \(F\) entlang einer Wegstrecke \([0;x]\) verrichtet, kann durch
\begin{align}
W(x)=\int _0^x F(u)du
\end{align}
berechnet werden. Es gilt daher, dass die Arbeit in Abhängigkeit der gedehnten Länge \(x\) durch
\begin{align}
W(x)=\int _0^x k\cdot u du=k\cdot \frac{x^2}{2}
\end{align}
dargestellt werden kann.