Inhalt
» Der bremsende Zug
» Die fehlende Wegfunktion
» Die Flächenfrage
» Eine elementare Stammfunktion
» Zusammenhänge
» Beispiel

Vorbemerkung

Als abschließendes Kapitel der Analysis wird der Integralrechnung oft zu wenig Zeit bemessen. Die vielen unterschiedlichen Begriffe Obersumme, Stammfunktion, bestimmtes Integral, Umkehrfunktion vom Differenzieren (Oh Nein!) in kurzer Zeit erschweren oft das Verständnis.

Aber erst mit der Integralrechnung vervollständigen sich die Beobachtungen der Physik, auf ihr basiert die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie (Ansätze davon seht ihr bei den stetigen Zufallsvariablen), ihre Anwendungen sind so vielfältig wie die Differentialrechnung.

Dieser Abschnitt soll das algebraische Integrieren in einem praktischen Kontext näher bringen, im Anschluss stoßen wir bei der simplen Flächenberechnung erneut auf das Integrieren, ergänzt wird das ganze durch einen weiteren Abschnitt, in dem die Definitionen und Fachausdrücke des Integrierens anhand der Flächenberechnung eines Grundstückes eingeführt werden.

Der bremsende Zug

Ein ICE 3 führt eine normale Bremsung durch, seine Geschwindigkeit kann dabei näherungsweise durch die Funktion \(v(t)=90-\frac{3}{10}t\) beschrieben werden. Dabei ist \(t\) in Sekunden und \(v\) in Metern pro Sekunde gegeben. Der Graph der linearen Funktion ergibt

an4bremsenderzug1_1

und mit einigen Überlegungen aus vergangenen, physikalischen Beispielen schließen wir \(v\geq 0\) da es keine negativen Geschwindigkeiten in unserem Kontext gibt. Mit der Rechnung
\begin{align*}
& v(t)=0 \\
& 90-\frac{3}{10}t=0 \\
& t=300
\end{align*}
ergibt sich, dass der Zug nach 300 Sekunden, also 5 Minuten, zum Stillstand kommt. Dadurch erhalten wir für den Graphen von \(v\):

an4bremsenderzug1_2

Wir könnten nun einige Fragen zur Geschwindigkeit und zur Beschleunigung beantworten aber bei einer einfachen Fragestellung hängen wir. Wie lange ist der Bremsweg des Zuges, also wie weit fährt der Zug in den fünf Minuten während des Bremsvorganges?

Die fehlende Wegfunktion \(s\)

Die Überschrift sagt es schon, wir benötigen die zum Bremsvorgang gehörige Wegfunktion \(s\). Erinnern wir uns kurz zurück, in vorigen Beispielen der Differentialrechnung haben unsere Aufgaben oftmals mit der Wegfunktion \(s\) gestartet. Wir trafen dann Aussagen über die Geschwindigkeit (und die Beschleunigung). Wir erinnern uns an einige Beispiele, so ist
\begin{align*}
\frac{s(b)-s(a)}{b-a}
\end{align*}
die durchschnittliche Geschwindigkeit im Intervall \([a;b]\) und \(s'(t)=v(t)\) gibt uns die momentane Geschwindigkeit in Abhängigkeit des Zeitpunktes \(t\) an. Das letztere wollen wir nun nutzen, denn wenn
\begin{align*}
s'(t)=v(t)=90-\frac{3}{10}t
\end{align*}
gilt, dann können wir uns unser \(s\) "basteln". Welcher Term nach \(t\) abgeleitet ergibt \(90\)? Wir schließen \(90t\). Wie erhalten wir \(-\frac{3}{10}t\)? Als erfahrene Bruchrechner kommen wir auf \(-\frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}\cdot t^2\), also kurz \(-\frac{3}{20}t^2\). Für unsere Streckenfunktion gilt dann
\begin{align*}
s(t)=90t-\frac{3}{20}t^2
\end{align*}
mit \(s'=v\). Dann können wir aber \(s\) nutzen, um die absolut zurückgelegte Strecke im Intervall \([0;300]\) zu berechnen über
\begin{align*}
s(300)-s(0)=13500-0=13500,
\end{align*}
unser Zug hat demnach einen Bremsweg von 13500 Metern, also \(13,5\)km.

Wir werden sehen, das Auffinden von \(s\) über \(v=s'\) stellt ein Teilgebiet der Integralrechnung dar.

Die Flächenfrage

Im folgenden "vergessen" wir kurz unseren Zug und betrachten die (zu \(v\) entsprechende) lineare Funktion \(f(x)=90-\frac{3}{10}x\) mit Graph:

an4bremserderzugwirdzuf_1

Wir möchten nun die von \(f\) im ersten Quadranten eingeschlossene Fläche berechnen, also die Fläche zwischen \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([0;300]\):

an4bremserderzugwirdzuf_2

Es liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor mit \(a=90\) und \(b=300\), wir erhalten als Fläche daher
\begin{align*}
A=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{90\cdot 300}{2}=13500.
\end{align*}

Dieses Ergebnis kommt uns bekannt vor, legte unser Zug doch 13500 Meter als Bremsweg (im Zeitintervall \([0;300]\)) zurück. Wir wollen dem weiter nachgehen und berechnen als nächstes Beispiel die Fläche unter \(f\) im Intervall \([0;150]\)

an4bremserderzugwirdzuf_3

die Figur ist ein Trapez und wir erinnern uns, dass die Formel zur Berechnung ihrer Fläche
\begin{align*}
A=\frac{a+c}{2}\cdot h
\end{align*}
lautet. Dabei sind \(a\) und \(c\) die parallelen Seiten und \(h\) die dazugehörige Höhe. Tragen wir also einige Hilfsgrößen ein

an4bremserderzugwirdzuf_4

und berechnen
\begin{align*}
A=\frac{f(0)+f(150)}{2}\cdot 150=\frac{90+45}{2}\cdot 150=10125.
\end{align*}

Holen wir nun unsere Streckenfunktion \(s\) zurück ins Gedächtnis und berechnen den Bremsweg im Zeitintervall \([0;150]\) so erhalten wir
\begin{align*}
s(150)-s(0)=10125-0=10125!
\end{align*}
Gibt es also einen Zusammenhang zwischen der Fläche und der Wegstrecke? Wir werden sehen, ja!

Eine elementare Stammfunktion

Wir gehen jetzt noch einen Schritt weiter in unserer Flächenbetrachtung. Gesucht ist nun die Fläche \(A\) in Abhängigkeit einer beliebigen Breite \(x\), daher schreiben wir \(A(x)\):

an4bremserderzugwirdzuf_5

und erhalten mit Hilfe der eben genutzten Formel für das Trapez
\begin{align*}
A(x) & =\frac{f(0)+f(x)}{2}\cdot x=\frac{90+90-\frac{3}{10}x}{2}\cdot x= \\
& =90x-\frac{3}{20}x^2
\end{align*}


für die Fläche. Die Funktion \(A\) mit \(A(x)=90x-\frac{3}{20}x^2\) "kennen" wir jedoch bereits, sie entspricht unserer Wegfunktion \(s\) von zuvor! Wir sehen
\begin{align*}
& s(t)=90t-\frac{3}{20}t^2, & s'(t)=v(t)=90-\frac{3}{10}t \\
& A(x)=90x-\frac{3}{20}x^2, & A'(x)=f(x)=90-\frac{3}{10}x.
\end{align*}

Zusammenhänge

Wir haben im ersten Teil gesehen, dass es im Kontext notwendig war, zu unser Geschwindigkeitsfunktion \(v\) eine Funktion \(s\) zu finden, mit \(s'=v\). Wir nennen eine Funktion \(F\), deren Ableitung \(F'=f\) erfüllt, im allgemeinen Stammfunktion von \(f\). Das händische Auffinden einer Stammfunktion nennt man integrieren, sehr viele Integrationsregeln erhalten wir, indem wir versuchen, die Ableitungsregeln umzukehren, daher die nicht optimalen Begriffe "umgekehrtes Differenzieren" oder "hochleiten". Zudem haben wir gesehen, dass man mit Hilfe einer Stammfunktion \(F\) (zuvor \(A\) genannt), die Fläche zwischen \(f\) und der \(x\)-Achse berechnen kann. Wir werden sehen, dass \(f\) dafür positiv sein muss (oder wir noch weitere Überlegungen anstellen müssen). Stammfunktionen dienen also auch zur Flächenberechnung.

Beispiel

Der konstant beschleunigende Körper: Die Geschwindigkeit eines von einem Hochhaus fallenden Körpers wird in Abhängigkeit der Zeit \(t\) in Sekunden mit \(v(t)=-9,81t\) beschrieben (in \(\frac{m}{s}\)). Geben Sie die Beschleunigung \(a(t)\) an und wie weit der Körper in 5 Sekunden fällt.

Lösung

Wir bauen uns eine kleine Tabelle

\(s\) \(F\)
\(v\) \(f\)
\(a\) \(f'\)

und wissen daher \(v'(t)=a(t)=-9,81\), die (näherungsweise) konstante Erdgravitation. Wir basteln uns im nächsten Schritt aus \(v\) eine Stammfunktion \(s\):
\begin{align*}
s(t)=-\frac{9,81}{2}t^2.
\end{align*}
Damit können wir die Fallzeit im Zeitintervall \([0;5]\) Sekunden berechnen über
\begin{align*}
s(5)-s(0)=122,625,
\end{align*}
der Körper fällt demnach 122,625 Meter.