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» Die Implikation
» Die Kontraposition
» Ein Beispiel

Die Implikation

Die Verwendung der Kontraposition ist eine Möglichkeit, um eine Implikation zu beweisen.

Seien \(A\) und \(B\) Aussagen. Eine Implikation ist eine Aussage der Form "Wenn \(A\), dann \(B\)" oder in Zeichen \(A\Rightarrow B\).

Achtung! Hier wird nichts darüber ausgesagt, ob \(A\) wahr ist oder ob \(B\) wahr ist. Es geht nur um den Zusammenhang zwischen \(A\) und \(B\). Also: Falls \(A\) wahr sein sollte, dann würde daraus folgen, dass auch \(B\) wahr ist.

Die Kontraposition

Die Kontraposition zur Implikation "Wenn \(A\), dann \(B\)" ist die Aussage "Wenn nicht \(B\), dann nicht \(A\)". Beide sind logisch äquvialent, was man an dieser Wahrheitswerttabelle sehen kann:

A B \(\lnot A\) \(\lnot B\) \(A\Rightarrow B\) \(\lnot B \Rightarrow \lnot A\)
W W F F W W
W F F W F F
F W W F W W
F F W W W W

Wenn die Behauptung eines Satzes eine Implikation ist, dann kann man stattdessen auch die Kontraposition zeigen, was manchmal einfacher ist.

Ein Beispiel

Sei \(a\) eine natürliche Zahl. Wir möchten folgende Implikation zeigen: Wenn \(a^2\) ungerade ist, ist auch \(a\) ungerade.

Die Kontraposition der Behauptung formulieren

Unsere Implikation "Wenn \(A\), dann \(B\)" besteht aus den Anteilen \begin{align*}A\ &:\ a^2 \text{ ist ungerade und}\\ B\ &:\ a \text{ ist ungerade.}\end{align*}

 

Die Kontraposition "Wenn nicht \(B\), dann nicht \(A\)" ist somit "Wenn \(a\) nicht ungerade ist, ist auch \(a^2\) nicht ungerade". Das können wir noch umformulieren zu "Wenn \(a\) gerade ist, ist auch \(a^2\) gerade".

Die Kontraposition beweisen

Sei \(a\) eine gerade Zahl. Dann gibt es eine natürliche Zahl \(k\) so, dass \(a=2\cdot k\) ist. Nun berechnen wir \(a^2\): \begin{align*}a^2 = (2k)^2 = 4 k^2 = 2(2k^2)\end{align*} Daher ist auch \(a^2\) eine gerade Zahl.