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Prüfungstrainer Analysis
1000 Fragen und Antworten für Bachelor und Vordiplom

Rolf Busam, Thomas Epp
Spektrum Akademischer Verlag, 374 Seiten, 2007 , 24,95 €

ISBN: 3-827-41895-X

Der Prüfungstrainer Analysis wendet sich an alle Studierenden der Mathematik im Haupt- oder Nebenfach und soll ein Hilfsmittel zur Klausur- und Prüfungsvorbereitung darstellen, indem er die Studenten darauf vorbereitet, exakte Antworten auf mögliche Fragen formulieren zu können.
Das Buch ist in einem Frage - Antwort - Stil verfasst und behandelt die zentralen Begriffe und Beweise aus der Analysis. (Zu den genaueren Inhalten siehe die Inhaltsbeschreibung unten.)
Das Hauptaugenmerk wird auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Begriffe und Konzepte gelegt. Der Prüfungstrainer stellt damit keine Aufgabensammlung dar. Fragen der Form: "Zeigen Sie, dass folgende Reihe reeller Zahlen konvergiert!" oder "Berechnen Sie den Grenzwert folgender Folge!" wird man hier vergeblich suchen. Stattdessen werden die wichtigen Definitionen und Beweise in präziser, nicht zu ausufernden Weise dargestellt und die Bearbeitung und Beantwortung der gegebenen 1000 Fragen dient dazu, den Stoff, welcher in der Vorlesung gegeben wurde, in zusammengefasster Weise zu wiederholen.
Das Buch ist somit nicht wirklich zum Selbststudium oder als Lehrbuch geeignet, denn es setzt die Bekanntheit der vorliegenden Themen voraus, hilft nur diese nochmals zu festigen.
Daneben eignet sich der Prüfungstrainer Analysis allerdings auch hervorragend als Nachschlagewerk für höhere Semester.
Durch seine thematische Vollständigkeit und die ausführlichen Lösungen dient das Buch als ideale Prüfungsvorbereitung für Bachelor- oder Vordiploms-Kandidaten. Studenten, die die 1000 Fragen dieses Prüfungstrainers beantworten können, sollten sich keine Sorgen vor irgendeiner Prüfung in der Analysis machen.

Inhalt

1. Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen
   (Axiomatische Einführung der reellen Zahlen; Natürliche Zahlen und vollständige Induktion; Die ganzen und rationalen Zahlen; Der Körper der komplexen Zahlen; Die Standardvektorräume Rⁿ und Cⁿ; Einige wichtige Ungleichungen)
2. Folgen reeller und komplexer Zahlen
   (Definitionen, Beispiele, grundlegende Feststellungen; Permanenzeigenschaften (Rechenregeln) für konvergente Folgen; Prinzipien der Konvergenztheorie)
3. (Unendliche) Reihen
   (Definitionen und erste Beispiele; Konvergenzkriterien für reelle Reihen; Reihen mit beliebigen Gliedern, absolute Konvergenz; Umordnung von Reihen, Reihenprodukte; Elementares über Potenzreihen; Der große Umordnungssatz)
4. Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen
   (Grundbegriffe, Stetigkeit, Grenzwerte bei Funktionen)
5. Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen
   (Punktweise und gleichmäßige Kovergenz; Potenzreihen)
6. Elementare (transzendente) Funktionen
   (Die komplexe Exponentialfunktion; Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen; Natürlicher Logarithmus und allgemeine Potenzen; Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen)
7. Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung
   (Das Integral für Treppenfunktionen und Regelfunktionen; Grundlagen der Differenzialrechnung; Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung; Integrationstechniken)
8. Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung
   (Taylor'sche Formel und Taylorreihen; Fixpunktiteration und Newton-Verfahren; Interpolation und einfache Quadraturformeln; Uneigentliche Integrale Gamma-Funktion; Bernoulli'sche Polynome und -Zahlen, Euler'sche Summenformel; Fourierreihen (Einführung in die Theorie); Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie)
9. Metrische Räume und ihre Topologie
   (Grundbegriffe; Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit; Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz, stetige Fortsetzbarkeit, Grenzwerte; Kompaktheit, stetige Funktionen auf kompakten Räumen; Wege, Zusammenhangsbegriffe; Der Satz von Stone-Weierstraß)
10. Differenzialrechnung in mehreren Variablen
    (Partielle Ableitungen; Höhere partielle Ableitungen, Satz von Schwarz; (Totale) Differenzierbarkeit in C, Cauchy-Riemann'sche Differenzialgleichungen; Lokale Extremwerte, Taylor'sche Formel; Der lokale Umkehrsatz; Der Satz über implizite Funktionen; Untermannigfaltigkeiten im Rⁿ; Extrema unter Nebenbedingungen, Langrange'sche Multiplikatoren)
11. Integralrechnung in mehreren Variablen
    (Parameterabhängige und n-fache Integrale; Das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger; Fortsetzung des Integrals auf halbstetige Funktionen; Berechnung von Volumina einiger kompakter Mengen; Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen; Die Grenzwertsätze von Beppo Levi und Lebesgue; Nullmengen und fast überall geltende Eigenschaften; Der Banachraum L¹ und der Hilbertraum L²; Parameterabhängige Integrale, Fouriertransformierte; Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen; Integration über Untermannigfaltigkeiten im Rⁿ)
12. Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze
    (Vektorfelder, Kurvenintegrale, Pfaff'sche Formen; Die Integralsätze von Gauß und Stokes)

• Literatur
• Symbolverzeichnis
• Namen- und Sachverzeichnis