A Singular Introduction to Commutative Algebra
G.-M. Greuel, G. Pfister
Springer Verlag, 2008 (2. Auflage), 689+XX Seiten, 53,45 €
ISBN 978-3-540-73541-0
Mit dem Computeralgebrasystem SINGULAR kann man Berechnungen in (kommutativen) Polynomringen mit Koeffizienten in gewissen Körpern sowie in deren Faktorringen und Lokalisierungen (in maximalen Idealen) ausführen. Das vorliegende Buch führt in die Kommutative Algebra und damit auch in die Algebraische Geometrie so weit ein, wie das zum Verständnis der in SINGULAR verwendeten Begriffe und Algorithmen nötig ist. Die Auswahl der Themen erfolgte mit Blick auf deren Bedeutung für die Algebraische Geometrie und die Singularitätentheorie. Die Autoren suchen nicht nach größter Allgemeinheit, sondern beschränken sich auf jene Bereiche, die in einem Computeralgebrasystem darstellbar sind. Alle Begriffe, Algorithmen und Konzepte werden im Buch durch mit SINGULAR gerechnete Beispiele verdeutlicht. Beim Lesen hat man das angenehme Gefühl, dass das Buch viel an Inhalt vermittelt, dabei aber immer im positiven Sinn ”am Boden bleibt“. Das Fehlen von Hinweisen auf Anwendungen der vorgestellten Algorithmen (zum Beispiel in der ganzzahligen Optimierung, der Systemtheorie oder der Statistik) beeinträchtigt den sehr guten Gesamteindruck nur wenig.
Die ersten zwei Kapitel führen in die algorithmische Theorie der kommutativen Ringe und Moduln ein. Es werden die Theorie der Gröbnerbasen und der Standardbasen erläutert und deren grundlegende Anwendungen auf Berechnungen mit Idealen und Untermoduln besprochen (”Gröbner-basics“). In der vorliegenden zweiten Auflage wurde das erste Kapitel um einen Abschnitt ergänzt: Mit einem Beitrag von Viktor Levandovskyy über Gröbnerbasen in G-Algebren, einer Klasse von gewissen assoziativen Algebren, wird der Erweiterung von SINGULAR auf das Rechnen in nichtkommutativen Ringen Rechnung getragen. Wichtige Beispiele für G-Algebren sind Weyl-Algebren und universelle Einhüllende von endlichdimensionalen Lie-Algebren.
Im Kapitel 3 wird die Noethersche Normalisierung einer endlich erzeugten Algebra besprochen und ein auf einem Normalitätskriterium von Grauert und Remmert fußender Algorithmus zu ihrer Berechnung angegeben. Im Kapitel 4 geht es um die Berechnung der Primärzerlegung und des Radikals eines Ideals. Neu gegenüber der ersten Auflage sind Abschnitte über charakteristische Mengen (für die Berechnung der minimalen assoziierten Primideale) und über Dreiecksmengen (für ein Verfahren zur Lösung von nulldimensionalen Systemen polynomialer Gleichungen). Kapitel 5 ist dem Hilbert-Polynom bzw. dem Hilbert-Samuel-Polynom und deren Anwendung auf die Dimensionstheorie gewidmet. Kapitel 6 handelt von formalen Potenzreihen, dem Weierstraßschen Vorbereitungssatz und der Berechnung von Standardbasen von Idealen in Potenzreihenringen. Das abschließende Kapitel 7 ist eine Einführung in die (algorithmische) homologische Algebra.
Das letzte Drittel des Buches besteht aus drei Anhängen: Anhang A liefert den geometrischen Hintergrund für die im Hauptteil des Buches eingeführten Begriffe und Resultate der kommutativen Algebra. Dieser Abschnitt ist eine sehr konkrete und anschauliche Einführung in die algebraische Geometrie. Anhang B (neu in der zweiten Auflage) beschreibt Algorithmen zur Faktorisierung von Polynomen in einer und mehreren Variablen über endlichen Körpern, Q und algebraischen Erweiterungen davon. Anhang C führt in die Benutzung des Computeralgebrasystems SINGULAR ein, dieser Anhang wurde in der zweiten Auflage im Hinblick auf die Version 3-0-3 überarbeitet.
(Rezension: Franz Pauer, Innsbruck) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 43 - Oktober 2008