analysis 2 behrends

Analysis
Band 2 - Ein Lehrbuch


E. Behrends
Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2007, 2. Aufl., 378 Seiten, 27,99 €

ISBN: 3-834-80102-X

 

Warum besprechen wir im Computeralgebra-Rundbrief ein Analysis-Buch? Der Grund ist einfach: Dieses Buch unterscheidet sich von ähnlichen Büchern durch die Themenwahl. Natürlich werden auch in diesem Buch die üblichen Themen einer Analysis-II-Vorlesung behandelt: Funktionenräume (punktweise und gleichmäßige Konvergenz, Räume stetiger Funktionen, Vollständigkeit), Integration (Hauptsatz, parameterabhängige Integrale, Lp-Normen), Anwendungen der Integralrechung (Weierstraßscher Approximationssatz, Kurvendiskussion, Kurvenlänge, Laplacetransformation, Differentialgleichungen), Differentialrechung im Rn (lineare Abbildungen, Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen, Satz von Taylor, Extremwertaufgaben, Koordinatentransformationen, Satz über implizite Funktionen, Extremwerte mit Nebenbedingungen).

Aber das Neue an diesem Buch ist, dass zusätzlich Themen behandelt werden, die zum Themenkreis der Computeralgebra gehören und die bisher nicht in Lehrbüchern dieser Art zu finden sind, obwohl sie wichtige Ergänzungen zu den eingeführten Begriffsbildungen darstellen.

Sehr interessant ist Abschnitt 6.6: exp(x2) hat keine "einfache" Stammfunktion. In diesem Abschnitt werden Körper mit Differentiation eingeführt, es werden algebraische und transzendente Körpererweiterungen betrachtet. Dann wird der Satz von Liouville und Ostrowski präsentiert, der elementare Stammfunktionen elementarer Funktionen charakterisiert. Schließlich gelingt der Beweis, dass die Funktion exp(x2) keine elementare Stammfunktion haben kann.

Es wird also in diesem Lehrbuch der Risch-Algorithmus zur Integration elementarer Funktionen an einem speziellen Beispiel vorgeführt. Dies ist meines Erachtens sehr lobenswert, da sich durch die immer häufigere Nutzung von Computeralgebrasystemen jeder Mathematikstudierende die Frage stellen sollte, wie eigentlich ein Computeralgebrasystem integriert. Wenn auch der Risch-Algorithmus momentan nicht in jedem Computeralgebrasystem verfügbar ist, so lernt man in diesem Lehrbuch immerhin, wie es gemacht werden könnte. Dies zeigt insbesondere, dass eine fehlende Ausgabe bei einem Computeralgebrasystem bedeuten kann, dass die Rechnung bewiesen hat, dass eine Ausgabe eines bestimmten Typs gar nicht existiert.

In einem weiteren Abschnitt (Abschnitt 7.5) wird die Transzendenz der Eulerschen Zahl e und die Irrationalität der Kreiszahl π bewiesen. In diesem Zusammenhang wird die Approximierbarkeit rationaler Zahlen genau untersucht, wobei hier ebenfalls klassische Resultate der Computeralgebra einfließen.

Das Buch ist sorgfältig geschrieben, sollte in keiner Bücherei fehlen und kann jedem Studierenden ans Herz gelegt werden.

Rezension: Wolfram Koepf (Kassel) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 35 - Oktober 2004