Diophantine Equations and Power Integral Bases
I. Gáal
Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 2002, 282 Seiten, 55,14 €
ISBN 0-8176-4271-4
Das vorliegende Buch führt in den aktuellen Stand der Forschung auf dem Gebiet der algorithmischen Berechnung von Indexformgleichungen. Mit der Hilfe von Indexformgleichungen kann man entscheiden, ob der Ring der ganzen Zahlen eines Zahlkörpers vom Grad n eine Potenzganzheitsbasis besitzt, d. h. als Z–Modul von 1, α, α2, . . . , αn–1 erzeugt wird. Während diese Frage bei quadratischen Körpern immer eine positive Antwort besitzt, gibt es bereits bei kubischen Körpern negative Beispiele. Die Berechnung eines solchen Elements α geht über eine sogenannte Indexformgleichung. Diese diophantische Gleichung hat im Allgemeinen n – 1 Unbekannte und Grad n(n–1)/2. Daher ist die Lösung allgemeiner Indexformgleichungen von hohem Grad ein äußerst schwieriges Problem.
Die Lösung von Indexformgleichungen kann in vielen Fällen auf andere diophantische Gleichungen zurückgeführt werden. Daher führt der Autor den Leser in die Behandlung von Einheiten-, Thue- und Normformgleichungen ein. Hier werden die wichtigsten Methoden kurz vorgestellt. An mehreren Stellen gibt es ausführliche Beispiele, die einerseits das Verständnis fördern, andererseits aber auch die Effizienz der neuen Methoden zeigen. Dieser Teil des Buches hat Übersichtscharakter, d. h. dass einige Beweise zitiert werden.
In der zweiten Hälfte des Buches werden die Indexformgleichungen behandelt. Wie bereits gesagt ist das allgemeine Problem recht schwer und nur bis Grad 5 effizient lösbar. So werden die einzelnen Grade getrennt behandelt. Ein klassisches Ergebnis ist mittlerweile, dass sich Indexformgleichungen vom Grad 3 auf einfache Thue-Gleichungen zurückführen lassen. Es stellt sich heraus, dass sich die zugehörigen Indexformgleichungen deutlich vereinfachen, wenn mehr Struktur über die Galoisgruppe des Zahlkörpers bekannt ist. Im günstigsten Fall ist der gegebene Körper ein Kompositum von Teilkörpern, was die Lösung deutlich vereinfacht. Hier können z. B. Grad 9-Erweiterungen effizient gelöst werden. Auch die einfache Existenz von Teilkörpern ist sehr nützlich für die Lösung des zugehörigen Problems.
Das Buch endet mit mehreren großen Körpertabellen im Grad 3, 4 und 6, die Informationen zu den Potenzganzheitsbasen enthalten.
Als Voraussetzung für dieses Buch sind einfache Kenntnisse in algebraischer Zahlentheorie nützlich. So sollte man wissen, was der Ring der ganzen Zahlen eines Zahlkörpers ist und wie seine Einheitengruppe aussieht. Insgesamt sollte dieses Buch für Studenten im Hauptstudium mit Schwerpunkt Algebra/Zahlentheorie geeignet sein. Es ist sehr schön, dass endlich die Ergebnisse über Potenzganzheitsbasen in einem Buch vorliegen. Da zusätzlich auch andere diophantische Probleme behandelt werden, ist dieses Buch auch für Forscher in der konstruktiven Zahlentheorie interessant.
Rezension: Jürgen Klüners (Kassel) aus Computeralgebra-Rundbrief, Nr. 33 - Oktober 2003